n ( ) (n über k) k n Bemerkung: ( ) = 1 ist das neutrale Element der Multiplikation. 0
{a b c} {a b d} {a b e} {a c d} {a c e} {a d e}
{b c d} {b c e} {b d e} {c d e} |
5 ( )=10 3 |
n n·(n-1)·(n-1)·...·(n-k+1) ( ) = —————————————————————————— (kεN , nεR) [Zähler und Nenner haben k Faktoren) k 1 · 2 · 3 · ... ·k 0Man kann mit dieser Formel "n über k" erweitern zu einer Definition mit kε
-1/2 (-1/2)·(-3/2)·(-5/2)·(-7/2) 1·3·5·7 35 ( ) = —————————————————————————— = —————————— = ——— 4 1 · 2 · 3 · 4 1·2·3·4·16 128Das Pascalsche Dreieck ist:
0 ( ) 0 1 1 ( ) ( ) 0 1 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 0 1 2 3 3 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 2 3 ...Mit den Werten:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1
1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1
1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1
1 14 91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364 91 14 1
1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455 105 15 1
1 16 120 560 1820 4368 8008 11440 12870 11440 8008 4368 1820 560 120 16 1
...
m m 16 16 16*15 ( ) = ( ) (Symmetrie) z.B. ( )=( )=—————=120 (kurze Rechnung) k m-k 14 2 1*2 m+1 m m ( ) = ( ) + ( ) k+1 k+1 k n n·(n-1)·(n-1)·...·(n-k+1) n! ( ) = —————————————————————————— = ————————— k 1 · 2 · 3 · ... ·k k!·(n-k)! n n n n-1 ( ) = 1 für k = 0 und ( ) = -·( ) sonst. (Rekursionsformel) k k k k-1Weitere Formeln
n 15 ggT(n,k) = 1 => ( ) ist ein Vielfachen von n, z.B. ( )=1365=15·91. k 4 n+1 k n-i n n-1 n-2 n-k ( ) = Σ ( ) = ( ) + ( ) + ( ) + ... + ( ) k i=0 k-i k k-1 k-2 0 Beispiel: 10 9 8 7 6 5 4 ( ) = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) 5 5 4 3 2 1 0 252 = 126 + 70 + 35 + 15 + 5 + 1 n n-k n-j n-1 n-2 n-3 k ( ) = Σ ( ) = ( ) + ( ) + ( ) + ... + ( ) k+1 j=1 k k k k k Beispiel: 10 9 8 7 6 5 4 ( ) = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) 5 4 4 4 4 4 4 252 = 126 + 70 + 35 + 15 + 5 + 1 n n n n n n n n n 2 = Σ ( ) = ( ) + ( ) + ( ) + ... + ( ) + ( ) + ( ) k=0 k 0 1 2 n-2 n-1 n n k n n-m ( )·( ) = ( )·( ) für m ≤ k ≤ n k m m n-k n n 2n+1 n 2n+1 4 = Σ ( ) = Σ ( ) j=0 2j j=0 2j+1 Beispiel: 4 4 9 9 9 9 9 9 4 = Σ ( ) = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) j=0 2j 0 2 4 6 8 256 = 1 + 36 + 126 + 84 + 9