Basiswissen

Der Schwerpunktsatz

Um den folgenden Schwerpunktsatz elementar beweisen zu können, sei zunächst an die beiden Strahlensätze erinnert.

Die "Strahlenabschnitte" sind hier die Strecken SA, SA', SB und SB' auf den Strahlen, die "Parallelenabschnitte" sind hier die Strecken AB und A'B' auf den Parallelenen.

I Entsprechende Strahlenabschnitte verhalten sich gleich:
SB' : SB = SA' : SA (hier = 4:3)

II Die Parallelenenabschnitte verhalten sich gleich wie die von S aus gemessenenentsprechenden Strahlenabschnitte:
A'B' : AB = SA' : SA (hier = 4 : 3)

Beweis: Betrachte die zentrische Streckung mit dem Streckungszentrum S, die A auf A' und B auf B' abbildet. Alle Strecken werden dann mit demselben Streckfaktor "gestreckt":
SA' = k· SA , SB' = k· SB , A'B' = k· AB (k: Streckfaktor hier = 4:3) (Für ganz Gewissenhafte sei bemerkt: In der zweiten Figur ist k negativ und man müsste SA' = |k|· SA schreiben).

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IV
   Formuliere und beweise   
den Schwerpunktsatz!

Tipp: Verbinde M _b mit M _a und berechne dann nach den Strahlensätzen M _b M _a : AB und M _a S : SA

Lösung