Joachim Mohr Mathematik Musik
Basiswissen
Der Schwerpunktsatz
Um den folgenden Schwerpunktsatz elementar beweisen zu können, sei zunächst an
die beiden
Strahlensätze
erinnert.

Die "Strahlenabschnitte" sind hier die Strecken SA, SA', SB und SB' auf den Strahlen,
die "Parallelenabschnitte" sind hier die Strecken AB und A'B' auf den Parallelenen.
I Entsprechende Strahlenabschnitte verhalten sich gleich:
SB'
:
SB
=
SA'
:
SA
(hier = 4:3)
II Die Parallelenenabschnitte verhalten sich gleich wie die von S aus gemessenenentsprechenden Strahlenabschnitte:
A'B'
:
AB
=
SA'
:
SA
(hier = 4 : 3)
Beweis: Betrachte die zentrische Streckung mit dem Streckungszentrum S, die
A auf A' und B auf B' abbildet. Alle Strecken werden dann mit demselben Streckfaktor "gestreckt":
SA'
= k·
SA
,
SB'
= k·
SB
,
A'B'
= k·
AB
(k: Streckfaktor hier = 4:3)
(Für ganz Gewissenhafte sei bemerkt: In der zweiten Figur ist k negativ und man müsste
SA'
= |k|·
SA
schreiben).
IV
Formuliere und beweise
den Schwerpunktsatz!
Tipp: Verbinde M
b
mit M
a
und berechne dann nach den Strahlensätzen
M
b
M
a
:
AB
und
M
a
S
:
SA
Lösung