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Skalarprodukt
Der goldene Schnitt Einführung in das Skalarprodukt
Lösungen
Der goldene Schnitt

Mit TTMathe "Geometrie|Vektor/Zwei Vektoren/Dreieck" kontrolliert:

                  -     ——                        ——
1 a) 5; 6,5; 5; \/5; 2\/10     b) 3; 7; 11; 13; \/14

            4·12 - 3·5                          6 - 8 + 5
2 a) cosα = ——————————  => α = 59,5°  b) cosα = —————————  => α = 83,9°
               5·13                               ——   ——
                                                \/21·\/38

3.
        | 8|        |4|       |-4|
  ——>   |  |   ——>  | |  ——>  |  |       ——            ——
  BC  = |-3|   AC = |0|  AB = | 3|  a= \/82 b = 4 c =\/34
        |  |        | |       |  |
        |-3|        |0|       | 3|

α = 133,3° β = 18,7° γ = 27,9°
Raute_Beweis
4. Raute
                      ->  ->   ->     ->  ->   ->
Im Parallelogramm sei e = a  + b  und f = a  - b .

                               2  ->2       2  ->2
Wir verwenden die Gleichheit  a = a   bzw. b = b

                             ->2  ->2
und die Äquivalenz a = b <=> a  = b  .

                     ->2  ->2              ->  ->
4. a) Voraussetzung: a  = b    Behauptung: e · f  = 0

                     -> ->                 ->2  ->2
   b) Voraussetzung: e ·f = 0  Behauptung: a  = b

        ->2   ->2
Beweis: a   = b

        ->  ->   ->   ->  ->  ->   ->2  ->2
   <=>  e · f = (a  + b)·(a - b) = a  - b   = 0

           |a|  | 2|
5. Ist n = |b| =|-5| und P(p |p |p ) = P(3|-7|11) ε E, dann kann man
           |c|  | 0|        1  2  2

   die Ebenengleichung sofort folgendermaßen angeben:

                               |x - p | |a|           |x -  3| | 2|
        ->   ->  ->            | 1   1| | |           | 1    | |  |
I   E: (x  - p )·n  = 0 =>  E: |x - p |·|b| = 0 => E: |x +  7|·|-5| = 0
                               | 2   2| | |           | 2    | |  |
                               |x - p | |c|           |x - 11| | 0|
                               | 3   3| | |           | 3    | |  |

   => E: 2(x -3) + (- 5)(x + 7) + 0(x - 11) = 0 => E: 2x - 5x = 41
            1             2          3                  1    2

                                           ->
II E: ax + bx + cx  = d, wobei a,b,c durch n  und d durch P bestimmt ist.
        1    2    3

   Also: E: 2x - 5x  = d. Punktprobe mit P(3|-7|11) ergibt 2·3 - 5·(-7) = d
              1    2

   Somit E: 2x - 5x = 41.
              1    2

      ->  |  0|     | 2|
6. g: x = |  8| + t·| 0|
          |-11|     |-7|

7. E: -x + 2x = - 8
        2    3

 
8. a) gesucht Abstand des Punktes P(-1|2|1) von der Ebene E: 2*x - x - 5x  = 3.
                                                                1   2    3

                                              ->  |-1|     | 2|
   I. Lösungsweg (ohne Formel): Die Gerade g: x = | 2| + t·|-1| durch P senkrecht zu E
                                                  | 1|     |-5|

     schneidet E im Punkt F(-1/5|1'3/5|-1).

                        ——>    2  ——
     dann ist d(P,E) = |FP | = -\/30 = 2,191 LE.
                               5

   II. Lösungsweg: Die Hesse-Form von E: ax + bx + cx - d = 0 ist
                                           1    2    3

                   ax + bx + cx - d            2x - x - 5x - 3
                     1    2    3                 1   1    3
                   ———————————————— = 0. Hier  ——————————————— = 0.
                     —————————————                  ——
                    /2    2   2                   \/30
                  \/a  + b + c

       P(p |p |p ) = P(-1|2|1) hat dann von E den Abstand d = d(P,E)
          1  2  3

           | ap + bp + cp - d|          |                  |
           |   1    2    3   |          |2·(-1) - 2 - 5 - 3|    12    2  ——
       d = | ————————————————|  Hier d= |——————————————————| = ———— = -\/30 LE
           |   ————————————  |          |     ——            |     ——  5
           |  /2    2   2    |          |   \/30            |   \/30
           |\/a  + b + c     |

      (Kontrollrechnung mit TTMathe "Geometrie|Abstand Punkt Ebene")
               ->   |4|     |1|
b) Gegeben  g: x  = |2| + t·|1|   und P(4|6|2).
                    |1|     |0|

   Gesucht Abstand d = d(P,g). Wir berechnen zunächst mit

   der Hilfsebe E: x + x = 10 durch P senkrecht zu g
                    1   2

   den Schnittpunkt  F von E mit g.  Das führt zur

   Gleichung (4+t) + (2 + t) = 10 mit der Lösung

                               ——>     |-2|
   t = 2 und F(6|4|1)  => d = |FP | = || 2|| = 3 LE
                                       | 1|

   (Rechnung: TTMathe "Geometrie|Abstand Punkt Gerade")

c) Gesucht: Der Abstand der windschiefen Geraden

            ->  |8|     |3|         ->  | 7|     |3|
         g: x = |8| + s·|2|  und h: x = | 2| + t·|3|
                |5|     |2|             |10|     |4|

                         ->  |a|     ->  |  |3|     -> |  |3|
1. Schritt: Suche Vektor n = |b| mit n  ——— |2| und n ——— |3|.
                             |c|            |2|           |4|

Ausrechnen mit Hilfe des Vektorproduktes

            ->   |3| |3|   | 2|
ergibt      n  = |2|x|3| = |-6|.
                 |2| |4|   | 3|

Ohne Vektorprodukt wird die Lösung des LGS bestimmt:

            3a + 2b + 2c = 0         3a + 2b + 2c = 0
          (                  ) <=> (                  )
            3a + 3b + 4c = 0               b + 2c = 0

                         2                                    ->  | 2|
c beliebig, b = -2c, a = -c. Eine Lösung genügt. Zum Beispiel n  =|-6|
                         3                                        | 3|

                                      ->    1  ->   1| 2|
2. Schritt: Bilde den Einheitsvektor: n  = ————n  = -|-6| .
                                       o   |->|     7| 3|
                                           |n |

                              ->  ->  ->    1|-1| | 2|   1
3. Schritt: Formel d(g,h) = |(q - p )·n | = -|-6|·|-6| = -(-2 + 36 + 15) = 7 LE
                                       0    7| 5| | 3|   7

Rechnung macht auch TTMathe"Geometrie|Zwei Geraden"

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