Querstand und verminderte Quart in reiner Stimmung

Akkord        Frequenzen (Hz)         Frequenzverhälnisse
,h  g  g  d   123,8 198 396 594       8/5 2/1 3/2
c  g  ,e  c   132 198 330 528         3/2 5/3 8/5
g  g  d  ,h   99 198 297 495          2/1 3/2 5/3
a  e  ,cis  a 111,4 167,1 278,4 445,5 3/2 5/3 8/5
'f  'c  'f  a 89,1 267,3 356,4  445,5 3/1 4/3 5/4
g  'b  d  g   99 237,6 297 396  12/5  5/4 4/3
a  a  'c  e   111,4 222,8 267,3 334,1 2/1 6/5 5/4
d  ,fis  a  d 148,5 185,6 222,8 297   5/4 6/5 4/3

Akkordbezeichnungen nach Euler

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Wir wollen hier den Halbtonschritt der Querstandes ,cis-'c und die verminderte Quart im Alt ,cis-'f in Cent berechnen (oktaviert in dieselbe Oktavlage). In gleichstufiger Stimmung handelt es sich um 100 Cent bzw. 400 Cent.
Vom Eulerschen Tonnetz genügt zu wissen.

• ... f c g d a e h fis cis ... sind reine Quinten.
• ,cis ("Tiefkomma Cis", das Komma vor Cis) bedeutet. cis wird um en syntonisches Komma erniedrigt.
• 'f ("Hochkomma f, das Hochkomma vor f) bedeutet. f wird um ein syntonisches Komma erhöht.
• g - ,h und c - ,e und a - ,cis und 'f - a und 'b - d und 'c - e und d - ,fis sind reine große Terzen.
• ,h - d und ,e - g und ,cis - e und 'f - a und g - 'b und ,fis - a sind reine kleine Terzen.

Der chromatische Halbtonschritt c ,cis

Berechnung schrittweise:
Von c aus zunächst 7 Quinten c g d a e h fis cis bis cis hoch: Frequenzverhältnis (3/2)⁷ ≅ 7*701,955 Cent.
Dann von cis nach ,cis ein syntonisches Komma tiefer: Frequenzverhältnis 80/81 ≅ -21,506 Cent.
Schließlich 4 Oktaven tiefer: Frequenzverhältnis (1/2)⁴ ≅ -4*12000 Cent

Hinweis Umrechnung in Cent:
Zum Beispiel Quinte: Frequenzverhältnis q=3/2: Quinte = 1200*lb(3/2) Cent = 701,955 Cent, wobei lb(3/2) der Logarithmus zur Basis 2 ist. Umrechnung lb(q)=lg(q)/lg(2).

Intervall c ,cis: chromatischer Halbton

Frequenzverhältnis: (3/2)⁷*80/81*1/16 = 135/128
In Cent: (7*701,955-21,506-4*1200) Cent = 92,179 Cent.

Zum Vergleich: Der diatonische Halbtonschritt ,cis d hat das Frequenzverhältnis 16/15 ≅ 111,731 Cent.

Intervall ,cis 'f: verminderte Quarte

Siehe die Altstimme im 3. Takt.

Berechnung schrittweise:
,cis nach cis ein syntonisches Komma höher: Frequenzverhältnis 81/80 ≅ 21,506 Cent.
Dann von cis 8 Quarten cis fis h e a d g c f nach f hoch: Frequenzverhältnis (4/3)⁸ ≅ 8*498,045 Cent,
Von f nach 'f noch einmal ein syntonisches Komma höher: Frequenzverhältnis 81/80 ≅ 21,506 Cent.
Schließlich 3 Oktaven tiefer: Frequenzverhältnis (1/2)³

Intervall ,cis 'f: verminderte Quarte

Frequenzverhältnis: (81/80)*(4/3)⁸*(81/80)*(1/2)³ = 32/25 #In Cent: (21,506+8*498,045+21,506-3*1200) Cent = 427,372 Cent.

Zum Vergleich die reine Terz (in gleichstufiger Stimmung dasselbe Intervall) hat das Frequenzverhältnis 5/4 ≅ 386,314 Cent.