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Äquivalenzrelation

Eine Relation ∼ heißt Äquivalenzrelation, wenn folgendes gilt: Sei ∼ eine Äquivalenzrelation auf der Menge M. Dann ist für a∈M die Äquivalenzklasse von a die Menge
A(a)={x∈M|x∼a}. Ein Repräsentantensystem ist eine Teilmenge von M, die für jede Äquivalenzklasse genau ein Element enthält.

Parallelität

Für die Geraden (in der Ebene oder im Raum) ist eine Äquivalenzrelation g||h ("g parallel h")

Beispiel ℤ5=ℤ/5ℤ

Rechnung modulo 5:
Für alle a,b∈ℤ wird definiert a∼b ⇔ a und b haben bei Division durch 5 den gleichen Rest.
Im Allgemeinen schreibt man dafür a≡b (mod 5)
Beispiel 2∼7, 2∼12, 2∼17 ... und damit auch 12∼17 usw.
Die Äquivalenzklassen sind
n={...,n-10,n-5,n,n+5,n+10,..}={k∈ℤ|k∼n}
0={... -10,-5,0,5,10,..}
1={... -9,-4,1,6,11,..}
2={... -8,-3,2,7,12,..}
3={... -7,-2,3,8,13,..}
4={... -6,-1,4,9,14,..}
Mit den Äquivalenzklassen kann man rechnen...
f:n→n ist ein Epimorphismus von ℤ auf ℤ/ℤ5.
Kern(f)={a∈ℤ|f(a)=0}={... -10,-5,0,5,10,..}

Beispiel des Quotentenkörpers ℚ der ganzen Zahlen ℤ

In ℤxℤ definieren wir eine Äquivalenzrelation ∼ folgendermaßen: (a b) ∼ (p q) , wenn aq=bq ist. Die Äquivalenzklassen bezeichnen wir mit a/b = {(p q)| (p q) ∼ (a b)}. Es gilt also a/b=p/q wenn aq=bq ist.
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