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Körper

(K,+,*) ist ein Körper, wenn gilt: Schreibweise: Statt a*b kann man auch ab schreiben.
Lemma: 0*a=0. Beweis: 0*a=(0+0)a=0*a+0*a. Auf beiden Seiten: -0*a ergibt: 0=0*a.✅
Lemma: Ein Schiefkörper ist Nullteilerfrei, d.h. ab=0 ⇒ a=0 oder b=0.
Beweis: Ist a≠0, dann folgt aus ab=0: a-1ab=1*b=0, also b=0✅

ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝ⊂ℂ⊂H


={1,2,3,4,5,...} Die Menge der natürlichen Zahlen. Weder bez. + und bez. * eine Gruppe.
0={0,1,2,3,4,5,...}


={0,±1,±2,±3,±4,±5,...} die Menge der ganzen Zahlen. ist ein Ring, d.h. bez. + und * eine Gruppe und es gilt das Distributätsgesetz. Die Gruppen sind abelsch (kommutativ) und es handelt sich um einen Ring mit 1.
Das Inverse bez. * existiert nicht. Deshalb ist ℤ kein Körper.
={z/n|z∈ℤ, n∈ℕ} die Menge der rationalen Zahlen.
(ℚ,+,*) ist - als mathematische Struktur betrachet- ein Körper.
ℚ ist der kleinste Körper, der die natürlichen Zahlen ℕ enthält.
Die Zahlen von ℚ sind als endliche oder unendlich periodische Dezimalzahlen darstellbar.

= Menge der reellen Zahlen. ℝ ist ein Körper. ℝ enthält alle endliche, alle unendlich periodische und alle unendlich nicht periodische Dezimalzahlen.

Beispiel für eine unendlich nicht periodischen Dezimalzahl: a=0,101001000100001000001...

Andere Charakterisierung: ℝ enthält alle rationalen Zahlen und zusätzlich auch die Zentren von Intervallschachtelungen rationaler Zahlen.

Beispiel einer Intervallschachtelung: {[a,b]|a,b∈ℚ, a≥0, b≥0 und a2 ≤ 2 ≤ b2}.
Das Zentrum dieser Intervallschachtelung ist √2.

Dritte Charakterisierung: In ℝ existieren die kleinsten oberen Schranken.

Beispiel: √2=sup{a∈ℚ,a2 ≤ 2}.


= {a+bi|a,b∈ℝ} ist der Körper der komplexen Zahlen mit der Eigenschaft i2=-1.
ℂ ist ein Vektorraum der Dimension 2 über ℝ.
Jedes Polynom kann in ℂ zerlegt werden in Faktoren (x-xi), wobei xi∈ℂ.
f(x)=xn+an-1xn-1+an-2xn-2+...+a2x2+a1x+a0= (x+xn)(x+xn-1)(x+xn-2)...(x+x3)(x+x2)(x+x1).
In der Funktionentheorie betrachtet man holomorphe (im komplexen differenzierbare) Funktionen. Ein wichtiges Ergebnis ist die Cauchysche Integralformel.
Man nennt eine Zahl algebraisch, wenn sie Nullstelle eines Polynoms mit Koeffizienten aus C ist, andernfalls ist sie transzendent. Die algebraischen Zahlen sind abzählbar, alle komplexen Zahlen überabzählbar.
Transzendente Zahlen sind π (Lindemann 1882), e=exp(1) (Hermite 1873) 22 (Gelford 1934).

Polarkoordinaten


z=a+bi∈ℂ, a,b∈ℝ hat die Darstellung in Polarkoordinaten

z=r(cos(φ)+i·sin(φ))
                               —————
               iφ             /2   2              b
z=r·exp(iφ)=r·e  , wobei r)=\/a + b   und cos(φ)= —
                                                  a   
mehr zu komplexen Zahlen

Nebenbei bemerkt. Es gibt noch ...

H = {a+bi+cj+dk|a,b,c,d∈ℝ} ist der (Schief-)Körper der Quaternionen. Es ist ein 4-dimensionaler Vektorraum über ℝ mit der Basis {1,i,j,k} und wird durch Definition der folgenden Multiplikation zum Schiefkörper.

FLA 15
Siehe auch hier...

 ⋅ | 1  i  j  k
———————————————
1 | 1  i  j  k
i | i -1  k -j
j | j -k -1  i
k | k  j -i -1