Joachim Mohr Mathematik Musik Delphi
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Körper
(K,+,*) ist ein Körper, wenn gilt:- (K,+) ist eine kommutative Gruppe
- (K\{0},*) ist eine Gruppe. Ist die Verknüpfung nicht kommutativ (selten), spricht man von einem Schiefkörper, sonst von einem Körper. Existiert nicht notwendigerweise das Inverse bez. *, handelt es sich um einen Ring.
- Es gilt das Distributivgesetz: a(b+c)=ab+ac und (a+b)c=ac+bc
Lemma: 0*a=0. Beweis: 0*a=(0+0)a=0*a+0*a. Auf beiden Seiten: -0*a ergibt: 0=0*a.✅
Lemma: Ein Schiefkörper ist Nullteilerfrei, d.h. ab=0 ⇒ a=0 oder b=0.
Beweis: Ist a≠0, dann folgt aus ab=0: a-1ab=1*b=0, also b=0✅
ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝ⊂ℂ⊂H
ℕ={1,2,3,4,5,...} Die Menge der natürlichen Zahlen. Weder bez. + und bez. * eine Gruppe.
ℕ0={0,1,2,3,4,5,...}
ℤ={0,±1,±2,±3,±4,±5,...} die Menge der ganzen Zahlen.
ℤ ist ein Ring, d.h. bez. + und * eine Gruppe und es gilt das Distributätsgesetz. Die Gruppen sind abelsch (kommutativ).
ℤ ist ein Ring mit 1. (Bei manchen Autoren muss jeder Ring eine 1 besitzen.)
ℤ ist ein Ring ohne Nullteiler, d.h. ist ab=0 für a,b∈ℤ, dann ist a=0 oder b=0. Solche Ringe mit 1 nennt man Integritätsbereich.
ℤ ist sogar ein Euklidischer Ring, d.h. man kann den ggT mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus ermitteln.
ℤ ist sogar ein faktorieller Ring, d.h. jedes a∈ℤ kann in ein Produkt irreduzibler Faktoren (hier Primzahlen) zerlegt werden.
Das Inverse bez. * existiert nicht. Deshalb ist ℤ kein Körper.
ℚ={z/n|z∈ℤ, n∈ℕ} die Menge der rationalen Zahlen.
(ℚ,+,*) ist - als mathematische Struktur betrachet- ein Körper.
ℚ ist der kleinste Körper, der die natürlichen Zahlen ℕ enthält.
Die Zahlen von ℚ sind als endliche oder unendlich periodische Dezimalzahlen darstellbar.
ℝ = Menge der reellen Zahlen. ℝ ist ein Körper. ℝ enthält alle endliche, alle unendlich periodische und alle unendlich nicht periodische Dezimalzahlen.
Beispiel für eine unendlich nicht periodischen Dezimalzahl: a=0,101001000100001000001...
Andere Charakterisierung: ℝ enthält alle rationalen Zahlen und zusätzlich auch die Zentren von Intervallschachtelungen rationaler Zahlen.Beispiel einer Intervallschachtelung: {[a,b]|a,b∈ℚ, a≥0, b≥0 und a2 ≤ 2 ≤ b2}.
Das Zentrum dieser Intervallschachtelung ist √2.
Beispiel: √2=sup{a∈ℚ,a2 ≤ 2}.
ℂ = {a+bi|a,b∈ℝ} ist der Körper der komplexen Zahlen mit der Eigenschaft i2=-1.
ℂ ist ein Vektorraum der Dimension 2 über ℝ.
Jedes Polynom kann in ℂ in Linearfaktoren zerlegt werden.
f(x)=xn+an-1xn-1+an-2xn-2+...+a2x2+a1x+a0= (x-xn)(x-xn-1)(x-xn-2)...(x-x3)(x-x2)(x-x1).
In der Funktionentheorie betrachtet man holomorphe (im komplexen differenzierbare) Funktionen. Ein wichtiges Ergebnis ist die Cauchysche Integralformel.
Man nennt eine Zahl algebraisch, wenn sie Nullstelle eines Polynoms mit Koeffizienten aus ℚ ist, andernfalls ist sie transzendent. Die algebraischen Zahlen sind abzählbar, alle komplexen Zahlen überabzählbar.
Transzendente Zahlen sind π (Lindemann 1882), e=exp(1) (Hermite 1873) 2 √2 (Gelford 1934).
Polarkoordinaten
z=a+bi∈ℂ, a,b∈ℝ hat die Darstellung in Polarkoordinaten
z=rcis(φ)=r(cos(φ)+i·sin(φ))
—————
iφ /2 2 b
z=r·exp(iφ)=r·e , wobei r=\/a + b und cos(φ)= —
a
mehr zu komplexen Zahlen
Nebenbei bemerkt. Es gibt noch ...
H = {a+bi+cj+dk|a,b,c,d∈ℝ} ist der (Schief-)Körper der Quaternionen. Es ist ein 4-dimensionaler Vektorraum über ℝ mit der Basis {1,i,j,k} und wird durch Definition der folgenden Multiplikation zum Schiefkörper.FLA 15
Siehe auch hier...
⋅ | 1 i j k ——————————————— 1 | 1 i j k i | i -1 k -j j | j -k -1 i k | k j -i -1