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Siehe auch: Kosinus-, Sinus und Tangenswerte
Die folgenden Werte wurden vom Programm TTRechenblatt errechnet.
sin(0°)   = 0
sin(3°)   = 1/16*(sqrt(2)*(sqrt(3)+1)*(sqrt(5)-1)-2*(sqrt(3)-1)*sqrt(5+sqrt(5)))
sin(4,5°) = 1/8*(sqrt(2)*sqrt(2-sqrt(2))*sqrt(5+sqrt(5))-(sqrt(5)-1)*sqrt(2+sqrt(2)))
sin(6°)   = 1/8*(sqrt(2)*sqrt(3)*sqrt(5-sqrt(5))-(sqrt(5)+1))
sin(7,5°) = 1/4*(-sqrt(3)*sqrt(2-sqrt(2))+sqrt(2+sqrt(2))) (Beweis: Siehe unten)
sin(9°)   = 1/8*(sqrt(2)*(sqrt(5)+1)-2*sqrt(5-sqrt(5)))
sin(12°)  = 1/8*(sqrt(2)*sqrt(5+sqrt(5))-sqrt(3)*(sqrt(5)-1))
sin(13,5°)= 1/8*(sqrt(2)*sqrt(2+sqrt(2))*sqrt(5-sqrt(5))-(sqrt(5)+1)*sqrt(2-sqrt(2)))
sin(15°)  = 1/4*sqrt(2)*(sqrt(3)-1)
sin(18°)  = (-1+sqrt(5))/4
sin(21°)  = 1/16*(-sqrt(2)*(sqrt(3)-1)*(sqrt(5)+1)+2*(sqrt(3)+1)*sqrt(5-sqrt(5)))
sin(22,5°)= 1/2*sqrt(2-sqrt(2))
sin(24°)  = 1/8*(-sqrt(2)*sqrt(5-sqrt(5))+sqrt(3)*(sqrt(5)+1))
sin(27°)  = 1/8*(-sqrt(2)*(sqrt(5)-1)+2*sqrt(5+sqrt(5)))
sin(30°)  = 1/2
sin(31,5°)= 1/8*(-sqrt(2)*sqrt(2-sqrt(2))*sqrt(5-sqrt(5))+(sqrt(5)+1)*sqrt(2+sqrt(2)))
sin(33°)  = 1/16*(sqrt(2)*(sqrt(3)+1)*(sqrt(5)-1)+2*(sqrt(3)-1)*sqrt(5+sqrt(5)))
sin(36°)  = 1/4*sqrt(2)*sqrt(5-sqrt(5))
sin(37,5°)= 1/4*(sqrt(3)*sqrt(2+sqrt(2))-sqrt(2-sqrt(2)))
sin(39°)  = 1/16*(sqrt(2)*(sqrt(3)+1)*(sqrt(5)+1)-2*(sqrt(3)-1)*sqrt(5-sqrt(5)))
sin(40,5°)= 1/8*(sqrt(2)*sqrt(2-sqrt(2))*sqrt(5+sqrt(5))+(sqrt(5)-1)*sqrt(2+sqrt(2)))
sin(42°)  = 1/8*(sqrt(2)*sqrt(3)*sqrt(5+sqrt(5))-(sqrt(5)-1))
sin(45°)  = 1/2*sqrt(2)
sin(48°)  = 1/8*(sqrt(2)*sqrt(5+sqrt(5))+sqrt(3)*(sqrt(5)-1))
sin(49,5°)= 1/8*(sqrt(2)*sqrt(2+sqrt(2))*sqrt(5+sqrt(5))-(sqrt(5)-1)*sqrt(2-sqrt(2)))
sin(51°)  = 1/16*(sqrt(2)*(sqrt(3)-1)*(sqrt(5)+1)+2*(sqrt(3)+1)*sqrt(5-sqrt(5)))
sin(52,5°)= 1/4*(sqrt(3)*sqrt(2-sqrt(2))+sqrt(2+sqrt(2)))
sin(54°)  = (1+sqrt(5))/4
sin(57°)  = 1/16*(-sqrt(2)*(sqrt(3)-1)*(sqrt(5)-1)+2*(sqrt(3)+1)*sqrt(5+sqrt(5)))
sin(58,5°)= 1/8*(sqrt(2)*sqrt(2+sqrt(2))*sqrt(5-sqrt(5))+(sqrt(5)+1)*sqrt(2-sqrt(2)))
sin(60°)  = 1/2*sqrt(3)
sin(63°)  = 1/8*(sqrt(2)*(sqrt(5)-1)+2*sqrt(5+sqrt(5)))
sin(66°)  = 1/8*(sqrt(2)*sqrt(3)*sqrt(5-sqrt(5))+(sqrt(5)+1))
sin(67,5°)= 1/2*sqrt(2+sqrt(2))
sin(69°)  = 1/16*(sqrt(2)*(sqrt(3)+1)*(sqrt(5)+1)+2*(sqrt(3)-1)*sqrt(5-sqrt(5)))
sin(72°)  = 1/4*sqrt(2)*sqrt(5+sqrt(5))
sin(75°)  = 1/4*sqrt(2)*(sqrt(3)+1)
sin(76,5°)= 1/8*(sqrt(2)*sqrt(2-sqrt(2))*sqrt(5-sqrt(5))+(sqrt(5)+1)*sqrt(2+sqrt(2)))
sin(78°)  = 1/8*(sqrt(2)*sqrt(3)*sqrt(5+sqrt(5))+(sqrt(5)-1))
sin(81°)  = 1/8*(sqrt(2)*(sqrt(5)+1)+2*sqrt(5-sqrt(5)))
sin(82,5°)= 1/4*(sqrt(3)*sqrt(2+sqrt(2))+sqrt(2-sqrt(2)))
sin(84°)  = 1/8*(sqrt(2)*sqrt(5-sqrt(5))+sqrt(3)*(sqrt(5)+1))
sin(85,5°)= 1/8*(sqrt(2)*sqrt(2+sqrt(2))*sqrt(5+sqrt(5))+(sqrt(5)-1)*sqrt(2-sqrt(2)))
sin(87°)  = 1/16*(sqrt(2)*(sqrt(3)-1)*(sqrt(5)-1)+2*(sqrt(3)+1)*sqrt(5+sqrt(5)))
sin(90°)  = 1

cos(0°)   = 1
cos(3°)   = 1/16*(sqrt(2)*(sqrt(3)-1)*(sqrt(5)-1)+2*(sqrt(3)+1)*sqrt(5+sqrt(5)))
cos(4,5°) = 1/8*(sqrt(2)*sqrt(2+sqrt(2))*sqrt(5+sqrt(5))+(sqrt(5)-1)*sqrt(2-sqrt(2)))
cos(6°)   = 1/8*(sqrt(2)*sqrt(5-sqrt(5))+sqrt(3)*(sqrt(5)+1))
cos(7,5°) = 1/4*(sqrt(3)*sqrt(2+sqrt(2))+sqrt(2-sqrt(2)))
cos(9°)   = 1/8*(sqrt(2)*(sqrt(5)+1)+2*sqrt(5-sqrt(5)))
cos(12°)  = 1/8*(sqrt(2)*sqrt(3)*sqrt(5+sqrt(5))+(sqrt(5)-1))
cos(13,5°)= 1/8*(sqrt(2)*sqrt(2-sqrt(2))*sqrt(5-sqrt(5))+(sqrt(5)+1)*sqrt(2+sqrt(2)))
cos(15°)  = 1/4*sqrt(2)*(sqrt(3)+1)
cos(18°)  = 1/4*sqrt(2)*sqrt(5+sqrt(5))
cos(21°)  = 1/16*(sqrt(2)*(sqrt(3)+1)*(sqrt(5)+1)+2*(sqrt(3)-1)*sqrt(5-sqrt(5)))
cos(22,5°)= 1/2*sqrt(2+sqrt(2))
cos(24°)  = 1/8*(sqrt(2)*sqrt(3)*sqrt(5-sqrt(5))+(sqrt(5)+1))
cos(27°)  = 1/8*(sqrt(2)*(sqrt(5)-1)+2*sqrt(5+sqrt(5)))
cos(30°)  = 1/2*sqrt(3)
cos(31,5°)= 1/8*(sqrt(2)*sqrt(2+sqrt(2))*sqrt(5-sqrt(5))+(sqrt(5)+1)*sqrt(2-sqrt(2)))
cos(33°)  = 1/16*(-sqrt(2)*(sqrt(3)-1)*(sqrt(5)-1)+2*(sqrt(3)+1)*sqrt(5+sqrt(5)))
cos(36°)  = (1+sqrt(5))/4
cos(37,5°)= 1/4*(sqrt(3)*sqrt(2-sqrt(2))+sqrt(2+sqrt(2)))
cos(39°)  = 1/16*(sqrt(2)*(sqrt(3)-1)*(sqrt(5)+1)+2*(sqrt(3)+1)*sqrt(5-sqrt(5)))
cos(40,5°)= 1/8*(sqrt(2)*sqrt(2+sqrt(2))*sqrt(5+sqrt(5))-(sqrt(5)-1)*sqrt(2-sqrt(2)))
cos(42°)  = 1/8*(sqrt(2)*sqrt(5+sqrt(5))+sqrt(3)*(sqrt(5)-1))
cos(45°)  = 1/2*sqrt(2)
cos(48°)  = 1/8*(sqrt(2)*sqrt(3)*sqrt(5+sqrt(5))-(sqrt(5)-1))
cos(49,5°)= 1/8*(sqrt(2)*sqrt(2-sqrt(2))*sqrt(5+sqrt(5))+(sqrt(5)-1)*sqrt(2+sqrt(2)))
cos(51°)  = 1/16*(sqrt(2)*(sqrt(3)+1)*(sqrt(5)+1)-2*(sqrt(3)-1)*sqrt(5-sqrt(5)))
cos(52,5°)= 1/4*(sqrt(3)*sqrt(2+sqrt(2))-sqrt(2-sqrt(2)))
cos(54°)  = 1/4*sqrt(2)*sqrt(5-sqrt(5))
cos(57°)  = 1/16*(sqrt(2)*(sqrt(3)+1)*(sqrt(5)-1)+2*(sqrt(3)-1)*sqrt(5+sqrt(5)))
cos(58,5°)= 1/8*(-sqrt(2)*sqrt(2-sqrt(2))*sqrt(5-sqrt(5))+(sqrt(5)+1)*sqrt(2+sqrt(2)))
cos(60°)  = 1/2
cos(63°)  = 1/8*(-sqrt(2)*(sqrt(5)-1)+2*sqrt(5+sqrt(5)))
cos(66°)  = 1/8*(-sqrt(2)*sqrt(5-sqrt(5))+sqrt(3)*(sqrt(5)+1))
cos(67,5°)= 1/2*sqrt(2-sqrt(2))
cos(69°)  = 1/16*(-sqrt(2)*(sqrt(3)-1)*(sqrt(5)+1)+2*(sqrt(3)+1)*sqrt(5-sqrt(5)))
cos(72°)  = (-1+sqrt(5))/4
cos(75°)  = 1/4*sqrt(2)*(sqrt(3)-1)
cos(76,5°)= 1/8*(sqrt(2)*sqrt(2+sqrt(2))*sqrt(5-sqrt(5))-(sqrt(5)+1)*sqrt(2-sqrt(2)))
cos(78°)  = 1/8*(sqrt(2)*sqrt(5+sqrt(5))-sqrt(3)*(sqrt(5)-1))
cos(81°)  = 1/8*(sqrt(2)*(sqrt(5)+1)-2*sqrt(5-sqrt(5)))
cos(82,5°)= 1/4*(-sqrt(3)*sqrt(2-sqrt(2))+sqrt(2+sqrt(2)))
cos(84°)  = 1/8*(sqrt(2)*sqrt(3)*sqrt(5-sqrt(5))-(sqrt(5)+1))
cos(85,5°)= 1/8*(sqrt(2)*sqrt(2-sqrt(2))*sqrt(5+sqrt(5))-(sqrt(5)-1)*sqrt(2+sqrt(2)))
cos(87°)  = 1/16*(sqrt(2)*(sqrt(3)+1)*(sqrt(5)-1)-2*(sqrt(3)-1)*sqrt(5+sqrt(5)))
cos(90°)  = 0

Da das 17-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist, ergibt sich
cos(2*Pi/17)=-1/16+1/16*sqrt(17)+1/16*sqrt(34-2*sqrt(17))
             +1/8*sqrt(17+3*sqrt(17)-sqrt(34-2*sqrt(17))-2*sqrt(34+2*sqrt(17)))

tan(0°)   = 0
tan(6°)   = 1/2*(sqrt(2)*sqrt(5-sqrt(5))-sqrt(3)*(sqrt(5)-1))
tan(7,5°) = sqrt(2)-sqrt(3)+sqrt(6)-2
tan(9°)   = 1/4*(-sqrt(2)*(sqrt(5)+1)*sqrt(5+sqrt(5))+4*(sqrt(5)+1))
tan(15°)  = 2-sqrt(3)
tan(18°)  =sqrt(1-2/5*sqrt(5))
tan(22,5°)= sqrt(2)-1
tan(27°)  = 1/4*(-sqrt(2)*(sqrt(5)-1)*sqrt(5-sqrt(5))+4*(sqrt(5)-1))
tan(30°)  = 1/3*sqrt(3)
tan(36°)  =sqrt(5-2*sqrt(5))
tan(37,5°)= -sqrt(2)+sqrt(3)+sqrt(6)-2
tan(42°)  = 1/2*(-sqrt(2)*sqrt(5+sqrt(5))+sqrt(3)*(sqrt(5)+1))
tan(45°)  = 1
tan(52,5°)= -sqrt(2)-sqrt(3)+sqrt(6)+2
tan(54°)  = sqrt(1+2/5*sqrt(5))
tan(60°)  = sqrt(3)
tan(63°)  = 1/4*(sqrt(2)*(sqrt(5)-1)*sqrt(5-sqrt(5))+4*(sqrt(5)-1))
tan(66°)  = 1/2*(sqrt(2)*sqrt(5-sqrt(5))+sqrt(3)*(sqrt(5)-1))
tan(67,5°)= 1+sqrt(2)
tan(72°)  = sqrt(5+2*sqrt(5))
tan(75°)  = 2+sqrt(3)
tan(78°)  = 1/2*(sqrt(2)*sqrt(5+sqrt(5))+sqrt(3)*(sqrt(5)+1))
tan(81°)  = 1/4*(sqrt(2)*(sqrt(5)+1)*sqrt(5+sqrt(5))+4*(sqrt(5)+1))
tan(82,5°)= sqrt(2)+sqrt(3)+sqrt(6)+2

Weitere Tangenswerte sind von komplizierterer Natur. Zum Beispiel
tan(3°) = (1-cos(6°))/sin(6°). Mit rationalem Nenner:

tan(3°) =  -1/256*(-8+sqrt(2)*sqrt(5-sqrt(5))+sqrt(3)*sqrt(5)+sqrt(3))
                 *(sqrt(2)*sqrt(3)*sqrt(5-sqrt(5))+sqrt(5)+1)
                 *(24+8*sqrt(5))
oder ausmultipliziert
tan(3°) = 2
          +sqrt(5)
          -3/2*sqrt(3)
          -1/2*sqrt(3)*sqrt(5)
          -sqrt(2)*sqrt(5-sqrt(5))
          +3/4*sqrt(2)*sqrt(3)*sqrt(5-sqrt(5))
          -1/2*sqrt(2)*sqrt(5-sqrt(5))*sqrt(5)
          +1/4*sqrt(2)*sqrt(3)*sqrt(5-sqrt(5))*sqrt(5)


Um auf die Anfangsfrage zurückzukommen. Wie beweist man eine solche Formel?
Ich will es exemplarisch am folgenden Beispiel zeigen:
sin(7,5°)=1/4*(-sqrt(3)*sqrt(2-sqrt(2))+sqrt(2+sqrt(2)))
Setzten wir voraus, es sei cos(15°)=sqrt(2)*(sqrt(3)+1)/4 bereits bewiesen dann folgt mit der Formel für den halben Winkel

sin(7,5°)=sqrt(1/2*(1-cos(15°)) = sqrt(1/2*(1-sqrt(2)*(sqrt(3)+1)/4 )).
Wir müssen also noch nachweisen, dass a=b gilt für
a=1/4*(-sqrt(3)*sqrt(2-sqrt(2))+sqrt(2+sqrt(2))) und b=sqrt(1/2*(1-sqrt(2)*(sqrt(3)+1)/4 )).

Dies kann man zeigen, indem man Wurzeln isoliert und quadriert. Man erhält dann für beide Terme, dass sie Lösungen der Gleichung 256*x^8-512*x^6+320*x^4-64*x^2+1=0 sind.

Eleganter ist folgendes Vorgehen:
a = 1/4 · (-sqrt(3)·sqrt(2-sqrt(2)) + sqrt(2+sqrt(2))) | ·4
 4·a  =        -sqrt(3)·sqrt(2-sqrt(2)) + sqrt(2+sqrt(2))     | ^2
    2

16·a  = 3·(2-sqrt(2)) + (2+sqrt(2)) - 2·sqrt(3)·sqrt(4-2)

      = 6 - 3·sqrt(2) + 2 + sqrt(2) - 2·sqrt(6)

      = 8 - 2·sqrt(2)               - 2·sqrt(6)

   b  = 1/4 · sqrt (8 - 2·sqrt(2)·(sqrt(3) + 1)))             | ·4

 4·b  =       sqrt (8 - 2·sqrt(2) - 2·sqrt(6))                | ^2

    2
16·b  =             8 - 2·sqrt(2) - 2·sqrt(6)

        2   2
Somit: a = b

Es bleiben nur noch die Vorzeichen von a und b abzuschätzen.
Offensichtlich ist b positiv. Für a genügt es, die inneren Wurzeln auf 1 zu verkleinern:

 4·a  =        -sqrt(3)·sqrt(2-sqrt(2)) + sqrt(2+sqrt(2))

      >        -sqrt(3)·sqrt(2-1)       + sqrt(2+1)       = 0

                                                      (Gerd Thieme)
Diese Werte sind alle algebraisch, d.h. Nullstellen von Polynomen mit ganzzahligen Werten.
Einige Beispiele:
x                     ... ist Lösung der Gleichung
cos(45°)   sin(45°)   2x^2-1=0
cos(60°)   sin(30°)   2x-1=0

cos(30°)   sin(60°)   4x^2-3=0
cos(36°)   sin(54°)   4x^2-2x-1=0
cos(72°)   sin(18°)   4x^2+2x-1=0

cos(12°)   sin(78°)   16x^4+8x^3-16x^2-8x+1=0
cos(15°)   sin(75°)   16x^4-16x^2+1=0
cos(18°)   sin(72°)   16x^4-20x^2+5=0
cos(22,5°) sin(67,5°) 8x^4-8x^2+1=0
cos(24°)   sin(66°)   16x^4-8x^3-16x^2+8x+1=0
cos(48°)   sin(42°)   16x^4-8x^3-16x^2+8x+1=0
cos(54°)   sin(36°)   16x^4-20x^2+5=0
cos(67,5°) sin(22,5°) 8x^4-8x^2+1=0
cos(75°)   sin(15°)   16x^4-16x^2+1=0
cos(84°)   sin(6°)    16x^4+8x^3-16x^2-8x+1=0

tan(45°)   x-1=0
tan(15°)   x^2-4*x+1=0
tan(22,5°) x^2+2*x-1
tan(30°)   3x^2-1=0
tan(60°)   x^2-3=0
tan(67,5°) x^2-2x-1=0
tan(75°)   x^2-4x+1=0
tan(7,5°)  x^4+8x^3+2x^2-8x+1=0
tan(9°)    x^4-4x^3-14x^2-4x+1=0
tan(18°)   5x^4-10x^2+1=0
tan(27°)   x^4+4x^3-14x^2+4x+1=0
tan(36°)   x^4-10*x^2+5=0
tan(37,5°) x^4+8x^3+2x^2-8x+1=0
tan(52,5°) x^4-8x^3+2x^2+8x+1=0
tan(54°)   5*x^4-10*x^2+1=0
tan(72°)   x^4-10*x^2+5=0
Manche Werte kann man als Nullstelle eines Polynoms darstellen, aber nicht durch Quadratwurzeln ausdrücken. Zum Beispiel:
x...                                   ... ist/sind Lösung(en) der Gleichung
cos(20°)                               8x^3-6x-1=0
cos(40°) und cos(80°)                  8x^3-6x+1=0

cos(180°·k/7) (k=1,3,5)                8x^3-4x^2-4x+1=0
cos(360°·k/7) (k=1,2,3)                8x^3+4x^2-4x-1=0

cos(180°·k/11) (k=1,3,5)               32x^5-16x^4-32x^3+12x^2+6x-1=0
cos(360°·k/11) (k=1,2,3,4,5)           32x^5+16x^4-32x^3-12x^2+6x+1=0

cos(180°·k/13) (k=1,3,5)               64x^6-32x^5-80x^4+32x^3+24x^2-6x-1=0
cos(360°·k/13) (k=1,2,3,4,5,6)         64x^6+32x^5-80x^4-32x^3+24x^2+6x-1=0

cos(10°), cos(50°) und cos(70°)        64x^6-96x^4+36x^2-3=0

tan(10°), tan(50°) und tan(70°)        3x^6-27x^4+33x^2-1
tan(20°) tan(40°)                      x^6-33*x^4+27*x^2-3


Exemplarischer Beweis für x=sin(10°):
3 1 Mit sin α = -(3·sinα - sin3α) folgt: 4 3 3 8x - 6x + 1 = 2 (3·sin10° - sin30°) - 6sin10° + 1 = 0, da 2sin30° = 1.
Exemplarischer Beweis für x=cos(360°/7):
2 3 Mit cos(2α) = 2cos α - 1 und cos(3α) = 4cos α - 3 cosα folgt für x = cosα 2 3 3 2 cosα+ cos(2α) + cos(3α) = x + 2x -1 + 4x - 3x = 4x + 2x - 2x - 1 1 360° Für α = 360°/7 ist cosα+ cos(2α) + cos(3α) = - - (*) und somit gilt für x = cos——— 2 7 3 2 1 3 2 die Gleichung 4x + 2x - 2x - 1 = - - oder 8x + 4x - 4x - 1 = 0 2
Die 7. Einheitswurzeln

Beweis von (*) (Beitrag in de.sci.mathematik

von Thomas Nordhaus und Wolfgang Kirschenhofer Februar 2008)

       360°                  iα            7
für α= ——— und p = cis(α) = e   folgt mit p = 1
        7
                                  7
         2   3   4   5   6   1 - p
1 + p + p + p + p + p + p  = —————  = 0
                             1 - p

Aus Symmetriegründen sind die Realteile von

       6    2     5            4      3
p und p  , p und p  sowie von p  und p  gleich und somit ist

                2        3        3        2
1 + Re(p) + Re(p ) + Re(p ) + Re(p ) + Re(p ) + Re(p) = 0

1 + 2cosα + 2cos(2α) + 2cos(3α) = 0

                                1
=> cosα + cos(2α) + cos(3α) = - -
                                2


Siehe Konstruktion des Siebenecks

Patrick Reichert hat in seiner Facharbeit in Klasse 10 bewiesen:


Satz: Ist cos(x) algebraisch, dann auch cos(q·x) für rationales q.

Da zum Beispiel cos(90°)=0 algebraisch ist, ist damit gezeigt, dass auch cos(1°), cos(2°), cos(3°) u.s.w. algebraische Zahlen sind.

Ähnlich kann man zeigen, dass sin(1°), sin(2°), sin(3°), ... algebraische Zahlen sind.
Den Satz möchte ich exemplarisch an der Herleitung für ein passendes Polynom zeigen, für das x=cos(5°) Nullstelle ist.
Voraussetzung:

          4        2
cos4x=8cos x - 8cos x + 1. Folgerung aus der "Moivreschen Formel".

(Solch eine Gleichung cosnx=... ist für alle n=2,3,4,... möglich.)

                                   3
x=cos(20°) erfüllt die Gleichung 8x - 6x -1 = 0 (siehe oben).

Behauptung: Es gibt ein Polynom h so, dass x=cos(5°) Lösung der Gleichung h(x)=0 ist.

                       4   2                 3
Beweis: Setze f(x) = 8x -8x + 1 und g(x) = 8x  - 6x - 1

Die Funktionen wurden so gewählt, dass cos(20°)=f(cos(5°)) und g(cos(20°)) = 0 ist. Folgerung:

                           12       10         8       6       4     2
für h(x) = g(f(x)) =  4096x - 12288x   + 13824x - 7168x + 1680x -144x +1 (Term unwichtig) gilt:

h(cos(5°)) = g(f(cos(5°))=g(cos(20°)) = 0.
Dieses Polynom 12. Grades hat genau die 12 Nullstellen ±sin(x) und ±cos(x)
für x=5°, 25°,35°,65° und 85°
Nach einem Hinweis von Patrick Reichert erwähne ich, dass ±sin(x) und ±cos(x) für
x=1°, 7° ,11° ,13°, 17°, 19°, 23°, 29°, 31°, 37°, 41°,43°,
47°, 49°, 53°, 59°, 61°, 67°, 71°, 73°, 77°, 79°, 83° und 89°
genau die 48 Nullstellen des folgenden Polynoms 48. Grades sind:
 281474976710656*x^48-3377699720527872*x^46+18999560927969280*x^44-66568831992070144*x^42
+162828875980603392*x^40-295364007592722432*x^38+411985976135516160*x^36
-452180272956309504*x^34+396366279591591936*x^32-280058255978266624*x^30
+160303703377575936*x^28-74448984852135936*x^26+28011510450094080*x^24
-8500299631165440*x^22+2064791072931840*x^20-397107008634880*x^18
+59570604933120*x^16-6832518856704*x^14+583456329728*x^12-35782471680*x^10
+1497954816*x^8-39625728*x^6+579456*x^4-3456*x^2+1=0
5poly48.gif

Nebenbei bemerkt: Pi und damit auch 1°=Pi/180 ist transzendent, d.h. nicht algebraisch.

Und: Nach dem allgemeine Satz von Lindemann-Weierstraß ist auch sin(1) transzendent (1 im Bogenmaß).
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