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Der affine Raum und affine Abbildungen

Affine Abbildung allgemein
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Der affine Raum

Diese knappe Einführung zu dem Begriff des affinen Raumes soll die Schreibweise bei den Beispielen von Kongruenzen, Ähnlichkeitsabbildungen, Affinitäten und Koordinatentransformationen erläutern.

Dem nicht so vertrauten Leser empfehle ich, sich zuerst mit Affinitäten (das sind Verschiebungen, Spiegelungen, Scherungen etc.) oder gleich mit konkreten Beispielen zu beschäftigen und erst bei Bedarf diese abstrakte Einleitung durchzuarbeiten.


Definition: Ein affiner Raum wird durch ein Tripel (PR,VR,Pfeil) beschrieben:

PR heißt Punktraum, seine Elemente Punkte,
VR ist ein Vektorraum, seine Elemente werden als Vektoren bezeichnet, und
Pfeil: (A,B) -> Pfeil(A,B) ist eine Abbildung von PR×PR in VR (PR×PR: das kartesische Produkt von PR und PR). Das heißt: Jedem Punktpaar A,B ist ein eindeutig bestimmter Vektor zugeordnet.

Künftig verwenden wir die Schreibweise:
——>
AB = Pfeil(A,B)
Neben den Vektorraumaxiomen gelten noch folgende zwei Axiome, die Punktraum und Vektorraum verbinden.

I Zu jedem Punkt A und jedem Vektor v gibt es einen

                                       ——>
  eindeutig bestimmten Punkt B mit v = AB.

Bezeichnung: B = A + v.

                          ——>         ——>
Eindeutig heißt: Wenn v = AB  und v = AB , so folgt daraus: B = B .
                            1           2                    1   2

                           ——>              ->
Es gilt deshalb stets: v = AB   <=> B = A + v .
Dieses "+" ist nicht die Addition von Vektoren, sondern ist eine Verknüpfung von einem Punkt und einem Vektor und eben durch Axiom I definiert: "Das Ansetzen von Vektor v an Punkt A ergibt B".
                               ——>  ——>  ——>
II Für alle Punkte A,B,C gilt: AB + BC = AC.

Folgerungen:

                                 ——>  ->
a) Beh.: Für alle Punkte A gilt: AA = o  (Nullvektor)

           ——>  ——>   ——>                                                    
   Beweis: AA + AA  = AA  (nach II).

                                            ——>
    Ziehen wir auf beiden Seiten den Vektor AA  ab,

                   ——>
   so erhalten wir AA  = 0 q.e.d.

                                       ——>     ——>
b) Beh.: Für alle Punkte A und B gilt: BA  = - AB

         ——>  ——>   ——>  ->     ——>     ——>
   Bew.: AB + BA  = AA = o  =>  BA  = - AB  q.e.d.

                                             ->  ->           
c) Beh.: Für alle Punkte A und alle Vektoren v , w  gilt: 

               ->  ->         ->    ->
          A + (v + w ) = (A + v ) + w 

                   ->            ->                  ->  ——>     ->  ——>
   Beweis: Sei A + v = B und B + w  = C. Dann folgt: v = AB  und w = BC

              ->  ->  ——>   ——>   ——>             ->    ->       ->
   und daraus v + w = AB  + BC  = AC . Somit (A + v ) + w  = B + w  = C

            ->  ->
   und A + (v + w ) = C.         q.e.d.

         ——>   ——>      ——>   ——>
d) Beh.: AB  = DC   <=> AD  = BC

   (Paralleogrammregel)

        ——>   ——>    ——>   ——>   ——>   ——>   ——>   ——>   ——>
  Bew.: AB  = DC  => AD  = AB  + BC  + CD  = AB  + BC  - DC

                           ——>   ——>   ——>   ——>
                         = AB  + BC  - AB  = BC

Die andere Richtung "<=" wird genauso bewiesen. q.e.d.

Parallelogramm

Koordinaten eines Punktes

Jedem Punkt P eines affinen Raumes kann man Koordinaten bezüglich eines Koordinatensystems zuordnen.
Koordinatensystem
Zunächst wählt man einen beliebigen Punkt O als Ursprung.
Ist der zugeordnete Vektorraum zum Beispiel dreidimensional, dann wählt man noch eine Basis des zugeordneten Vektorraumes, etwa

 -> -> ->
(e ,e ,e )
  1  2  3
Hinweis die Punkte O, E1, E2 und E3 mit

         ->          ->             ->
 E = O + e , E = O + e  und E = O + e
  1       1   2       2      3       3
nennt man "Punkte in allgemeiner Lage".


                                                            ->     ->     ->
Jeder Punkt P hat dann eindeutig die Darstellung P = O + x ·e + x ·e + x ·e   (siehe Zeichnung unten)
                                                          1  1   2  2   3  3

                                          -> -> ->
und wird - wenn das Koordinatensystem (O, e ,e ,e ) klar ist - mit P(x |x |x ) bezeichnet.
                                           1  2  3                    1  2  3

                                                                                       3
Durch diese Zuordnung erhält man eine Affinität f (siehe unten) des affinen Raumes in R .

                                    |x1|
                                    |  |                   ->  ——>
Der Bildpunkt von P ist dann f(P) = |x2| (Der "Ortsvektor" x = OP  von P).
                                    |  |
                                    |x3|

                                               ->  ->  ->
Hat man ein zweites Koordinatensystem K2= (O', e' ,e' ,e')  mit der zugeordneten Affinität
                                                1   2   3

            |x1'|
            |   |
P -> g(P) = |x2'|, wobei dann P bezüglich des zweiten Koordinatensystem folgende
            |   |
            |x3'|

Koordinaten hat:  P       (x', x' ,x'),
                   bez. K2  1   2   3

                            |x1'|         |x1|
                            |   |      -1 |  |
so kann man die Koordinaten |x2'| = g(f  (|x2|) über eine Koordinatentransformation
                            |   |         |  |
                            |x3'|         |x3|

|x1'|         |x1|    |a d g| |x1|   |j|                     |x1|
|   |      -1 |  |    |     | |  |   | |                     |  |
|x2'| = g(f  (|x2|) = |b e h|·|x2| + |k| aus den Koordinaten |x2| berechnen.
|   |         |  |    |     | |  |   | |                     |  |
|x3'|         |x3|    |c f i| |x3|   |l|                     |x3|

Nach unten Beispiel.

Beispiel R3

Siehe: Lektionen der Vektorrechnung.
  Die Punkte des R3 sind zum

  Beispiel A(4|5|4) und B(6|8|9).

  Dann ist der ("Verbindungs-")Vektor

  ->  ——>    2
  v = AB  = (3). Setzt man umgekehrt
             5

  den Vektor v an A an, so erhält man    

  den Punkt B:

      ->               2
  A + v  = A(4|5|4) + (3) = B(6|8|9).
                       5

  Bei vielen Betrachtungen wird auf Punkte

  verzichtet, sondern nur mit Vektoren gerechnet:

  Statt der Punkte A, B , ...

  verwendet man "Ortsvektoren" (hellgrün)

  ->   ——>   4   ->  ——> 5
  a  = OA = (3), b = OB (5), ...,
             2           5
Im Grunde sind dann die Punkte des affinen Raumes die Vektoren und der zugehörige Vektorraum die Translationen (Parallelverschiebungen).
Pfeil(A(4|5|4),B(6|8|9) = v = (2 3 5)

                  ->  ->  ->   6     4     2
                  v = b - a = (8) - (5) = (3)
                               9     4     5
In jedem Lehrgang zur Vektorrechnung und affinen Räumen erarbeitet man mit Hilfe einer Basis des Vektorraumes und Einführung eines Ursprungs im Affinen Raum folgenden ...

Satz: Jeder Vektorraum der Dimension n ist isomorph zu Kn,
wobei K der zugeordnete (Schief-)Körper ist.

Jeder affine Raum der Dimension n ist isomorph zu Kn.

(n endlich oder - als Kardinalzahl - unendlich.)

Affine Abbildungen, Ähnlichkeitsabbildungen, Kongruenzen

Im folgenden seinen die affinen Räume mindestens 2-dimensional.

Die Geraden des affinen Raumes sind die Punktmengen der Form
           ->                                                           ->
g = {A + x·v | x ε K} für die Punkte A und von 0 verschiedenen Vektoren v , d.h.

                                       ——>                         ->
für alle Punktepaare (A,B) auf g gilt: AB  ist linear abhängig von v .
Drei verschiedene Punkte A,B,C heißen kollinear, wenn wenn sie auf einer Geraden liegen. Definition:
I Eine bijektive Abbildung eines Punktraumes auf einen Punktraum heißt Affinität, wenn die Bildpunkte dreier kollinearer Punkte wieder kollinear und umgekehrt die Urbildpunkte dreier kollinearer Punkte kollinear sind.

Ist α eine Affinität, so werden Geraden g wieder auf Geraden g'=α(g) abbgebildet und das Urbild g=α-1(g') einer Geraden ist wieder eine Gerade.

Beh.: Eine Affinität α bildet ein Parallelogramm ABCD auf ein Parallelogramm A'B'C'D' ab.

Beweis: Sei M der Schnittpunkt der Diagonalen des Parallelogramms ABCD. Dann ist M' der Schnittpunkt des Vierecks A'B'C'D. Folglich liegt das Viereck A'B'C'D' in einer Ebene (2-dim. affiner Unterraum).

Die Geraden (A'B') und (D'C') schneiden sich nicht (sonst hätten auch AB und DC einen Schnittpunkt). Sie sind also weder winschief noch haben sie einen Schnittpunkt. Also sind sie parallel. Analog folgt, dass die Geraden (B'C') und (A'D') parallel sind.       q.e.d.

Anhand dieser Figur sieht man auch, dass die Mitte M von BD auf die Mitte M' von B'C' abgebildet wird. Eine Folgerung daraus ist: Eine Affinität ist teilverhältnistreu. (Jedenfalls für alle rationalen Teilverhältnisse. Für "irrationale" Teilverhälnisse muss noch die Stetigkeit algebraischer Operationen in K vorausgesetzt werden. Für reelle oder komplexe Skalare ist diese Voraussetzung erfüllt. Im Folgenden setzten wir die Teilverhältnistreue voraus.)
Parallelogramm ABCD
    -> Parallelogramm A'B'C'D

Eine Affinität α induziert somit durch folgende wohldefinierte Definition eine bijektive lineare Abbildung α des zugehörigen Vektorraumes

                      ->    ———>         ——>
                    α(v ) = A'B' für v = AB.
α ist lineare Abbildung, da gilt:

  ->  ->   ————>   ———>   ———>     ->      ->        ——>       ——>
α(v + w) = A'C'  = A'B' + B'C' = α(v ) + α(w ) für v=AB  und w=BC

        ->      ->                                 ->
und α(k·v ) = k·v  für alle Skalare k und Vektoren v , da α teilverhältnistreu ist.

Im Sinne der Informatik haben wir es bei einer Affinität α mit "überladenen" Funktionen zu tun.
               α: A -> A' (Punkt auf Punkt)

               αG: g -> g' (Gerade auf Gerade)

                  ->   ->
               αV: v -> v' (Vektor auf Vektor)
Zwischen den verschiedenen Abbildung α, αG und αV kann es keine Verwechsung geben, deshalb kann man sie (und wurden sie hier) mit dem gleichen Symbol bezeichnen: α = αG = αV.
Hinweis: In der Literatur trifft man auf den Begriff der "affinen Abbildung". Dabei wird die Bijektivität nicht gefordert.


Ist der affine Raum euklidisch, das heißt existiert auf P noch eine Metrik, (A,B) -> d(A,B) ε R, so kann man noch definieren:

II Eine Affinität f heißt Ähnlichkeitsabbildung, wenn ein Faktor k <> 0 so existiert,
dass d(f(A),f(B)) = k·d(A,B) für alle A,B ε P.       (k heißt Streckfaktor.)

III Eine Affinität f heißt Kongruenzabbildung, wenn d(f(A),f(B)) = d(A,B) für alle A,B El. P.

Mit der Metrik auf P ist ein Skalarprodukt des Vektorraum verbunden, auf das ich hier nicht eingehen brauche. Wichtig dabei ist nur der Begriff "orthogonal".


                                 -> ->     ->
Hat man ein Koordinatensystem (O,e ,e ,...,e ) des affininen Raumes,
                                  1  2      n

            ->  ->        ->
so ist (O', e', e', ... , e') ebenfalls ein Koordinatensystem.
             1   2         n

Ist das Koordinatensystem ein kartesisches,

           -> ->      ->
die Basis (e ,e ,..., e ) also eine Orthonormalbasis des Vektorraumes,
            1  2       n

                                                            -> ->      ->
so ist die zugehörige Affinität ähnlich, wenn die Vektoren  e',e',..., e' paarweise
                                                             1  2       n

orthogonal und gleich lang sind.

Die Ähnlichkeit ist dann eine Kongruenz(-abbildung), wenn

(e', e', ... , e')  ebenfalls eine Orthonormalbasis ist.
  1   2         n

Affinitäten im R2

I Allgemein

                                                                              ->  ->
Die Abbildungsgleichungen beziehen sich auf das Standardkoordinatensystem (O, e , e )
                                                                               1   2

                   ->   1            0
mit O=O=0|0|0) und e = ( ), und e = ( ).
                    1   0        2   1

Das Koordinatensystem ist festgelegt durch die Punkte O(0|0|0), E (1|0), E (0|1).
                                                                 1        2

Eine Affinität wird dann dargestellt durch die Abbildungsgleichungen:

->    a c ->    e         ->     ->  ->         a c      ->   e
x' = (   )x  + ( )   oder x' = A·x + b  mit A =(   ) und b = ( )
      b d       f                               b d           f

                                   a c                   ->   x1
Die Multiplikation der Matrix M = (   ) mit einem Vektor x = (  ) ist definert als
                                   b d                        x2

  ->    a c   x1     a·x1 + c·x2
M·x  = (   )·(  ) = (          )
        b d   x2     b·x1 + c·x2

Affine Abbildung allgemein

Für P(x |x ) und P'(x'|x') mit
       1  2          1  2

->    x       ——>   x'
x  = ( 1) und x' = ( 1)
      x             x'
       2             2

      ——>    e
sowie OO' = ( ) gilt:
             f

->   ——>   ———>    a        c
x' = OP' = OO'  + ( )·x  + ( )·x
                   b   1    d   2

      a        c        e
   = ( )·x  + ( )·x2 + ( )
      b   1    d        f

     a c ->    e
   =(   )x  + ( )
     b d       f



                          ->    a      ->    ->    c
O wird auf O'(e|f), e auf e' = ( ) und e auf e' = ( ) abgebildet.
                     1     1    b       2     2    d

Die Affinität ist eine Ähnlichkeitsabbildung, wenn

               a       c
die Vektoren  ( ) und ( )  senkrecht aufeinander stehen und gleich lang sind, d.h
               b       d

                      2   2    2   2
wenn ac + bc = 0 und a + b  = c + d  ist.

Die Affinität ist eine Kongruenzabbildung, wenn

               a       c
die Vektoren  ( ) und ( )  senkrecht aufeinander stehen und die Länge 1 haben, d.h
               b       d

                   2   2          2   2
wenn ac + bc = 0, a + b = 1 und  c + d  = 1 ist.

                                                            c
Diese Eigenschaft ist unabhängig vom "Verschiebungsvektor" ( ).
                                                            d

Um die Abbildungsmatrix aufzustellen, genügt es deshalb,

         ->    a      ->   1               ->    c      ->   0
das Bild e' = ( ) von e = ( ) und das Bild e' = ( ) von e = ( ) zu finden.
          1    b       1   0                2    d       2   1

Die Abbildungsgleichung der Verkettung von Abbildungen berechnet sich folgendermaßen:

                         ——>   a1 c1  ->    e1
Sei die erste Abbildung  x' = (     )·x  + (  ) ,
                               b1 d1        f1

                          ——>    a2 c2  ->     e2
und die zweite Abbildung  x'' = (     )·x'  + (  )
                                 b2 d2         f2
Verkettung
Dann gilt für die Verkettung (=Hintereinanderausführung) der beiden Abbildungen:

——>    a2 c2    a1 c1  ->    e1      e2
x'' = (     )·[(     )·x  + (  )] + (  ) , also
       b2 d2    b1 d1        f1      f2

——>    a3 c3  ->    e3       a3 c3     a1 c1   a2 c2        e3     a2 c2   e1     e2
x'' = (     )·x  + (  ) mit (     ) = (     )·(     )  und (  ) = (     )·(  ) + (  ).
       b3 d3        f3       b3 d3     b1 d1   b2 d2        f3     b2 d2   f1     f2

Das Produkt der zwei Matrizen oder einer Matrix mit einem Vektor ist hier:

 a1 c1   a2 c2     a1a2+c1b2 a1c2+c1d2         a2 c2   e1     a2e1+c2f1
(     )·(     ) = (                   )  und  (     )·(  ) = (         ).
 b1 d1   b2 d2     b1a2+d1b2 b1c2+d1d2         b2 d2   f1     b2e1+d2f1


Die Umkehrabbildung der Affinität

->    a c  ->    e                                             ->
x' = (   )·x  + ( ) wird ermittelt, indem diese Gleichung nach x  aufgelöst wird:
      b d        f

 a c  ->   ——>    e     ->    a' c' ->     a' c'   e
(   )·x  = x'  - ( ) => x  = (     )x'  - (     )·( )  wobei
 b d              f           b' d'        b' d'   f

 a' c'       1      d  -c                          a  c
(     ) = ———————·(      ) die inverse Matrix von (    ) ist.
 b' d'    ad - bc  -b  a                           b  d

Da Affinitäten stets umkehrbar sind, ist die Determinante D = ad - bc ≠ 0.

                     ->     ->
Nach Vertauschen von x' und x  erhält man als Abbildungsgleichung der Umkehrabbildung:

                         ———————————————————————————————
                        | ->    a' c' ->     a' c'   e  |
                        | x' = (     )x   - (     )·( ) |
                        |       b' d'        b' d'   f  |
                         ———————————————————————————————

Die Umkehrabbildungen der folgenden Abbildungen (siehe unten) sind:

                         ->    -1  0 ->                     ->    -1  0 ->
I  a) Punktspiegelung:   x' = (     )x    Umkehrabbildung:  x' = (     )x   (dieselbe)
                                0 -1                               0 -1

                         ->    -1 0  ->    6                   ->    -1  0 ->    6
   b) Punktspiegelung:   x' = (     )x  + ( )  Umkehrabbildung x' = (     )x  + ( ) (dieselbe)
                               0 -1        4                          0 -1       4

                 ——>    cos(α)  - sin(α) ->                      ——>    cos(α)  + sin(α) ->
   c) Drehung:   x'  = (                )x    Umkehrabbildung:   x'  = (                )x
                        sin(α) +  cos(α)                                -sin(α) + cos(α)

                                    ->     cos(α)  - sin(α) ->     cos(α) + sin(α)    e
   d) Drehung um Z(e|f): Drehung:   x'  = (                )x  - (                 )·( )
                                           sin(α) +  cos(α)       -sin(α) + cos(α)    f

                               cos(α) + sin(α)  ->     cos(α) + sin(α)   e
      Umkehrabbildung: x'  = (                 )x  - (                )·( )
                              -sin(α) +  cos(α)       -sin(α) + cos(α)   f

                                  ->     1 0  ->                    ->   1 1 0  ->
III a) Zentrische Streckung um O: x' = 3(   )·x    Umkehrabbildung: x' = -(   )·x
                                         0 1                             3 0 1

   b) Zentische Streckung um Z(3|2) mit Streckfaktor -3:

      ——>      1 0  ->   12                     ——>     1 1 0  ->    4
      x'  = -3(   )·x + (  )   Umkehrabbildung: x'  = - -(   )·x + (   )
               0 1        8                             3 0 1       8/3

                             -->    4 3   ->   2                    -->    1 4 -3  ->   1   2
   c) Ähnlichkeitsabbildung: x'  = (    )·x + ( ). Umkehrabbildung: x'  = ——(    )·x  - - (  ).
                                    -3 4       2                          25 3  4       25 14

                 ->   1 2  ->                     ->    1 -2  ->
IV a) Scherung: x' = (   )·x    Umkehrabbildung:  x' = (    )·x
                      0 1                               0  1

                                    ->     1  0  ->                   ->    1   0    ->
  b) senkrechte Parallelprokektion: x' = (      )x   Umkehrabbildung: x' = (       )·x
                                           0 a/b                            0   b/a


II Beispiele für Kongruenzen im R2


                          ->     a c  ->    e               ->   x1      ->    x1'
Hinweis: Die Schreibweise x'  = (   )·x  + ( ) bedeutet für x = (  ) und x' = (   ) :
                                 b d        f                    x2            x2'

                     ———————————————————————
                    | x1' = a·x1 + c·x2 + e |
                    |                       |
                    | x2' = b·x1 + d·x2 + f |
                      ——————————————————————

                                a c                  e
Die Koeffizienten der "Matrix" (   ) und der Vektor ( ) ergeben sich aus der Beziehung
                                b d                  f

->     ->     ->  ->     ->    ->     ——>     ->    ->
e' = a·e  + b·e , e' = c·e + d·e  und OO' = e·e + f·e
 1      1      2   2      1     2              1     2

                  ->   1   ->   0            ->    a   ->    c         ——>    e
Im Normalfall ist e = ( ), e = ( ) und damit e' = ( ), e' = ( ) sowie  OO' = ( ).
                   1   0    2   1             1    b    2    d                f

a) Punktspiegelung an O(0|0)

   ——>   -1
   e' = (  ) (erste Zeile ...
    1     0
                                       a c
                        ...der Matrix (   )
                                       b d
  ——>    0
  e' = (  ) (zweite Zeile ...
   2    -1

  ->    a c ->          ->    -1  0 ->
  x' = (   )x , also    x' = (     )x .
        b d                    0 -1

Zum Beispiel A(1|1)->A'(-1|-1),

B(4|0)->B'(-4|0) und C(3|2)->C'(-3|-2).

Punktspiegelung an O



b) Punktspiegelung an O(3|2)    

  Dieselbe Matrix wie bei a)

  ——>     ——>
  e'  und e'  bestimmen allein die Matrix
   1       2

  Dazu kommt der "Verschiebungsvektor"

   e     ——>    6
  ( ) =  OO' = ( )
   f            4

   ->    -1 0  ->    6
   x' = (     )x  + ( )
         0 -1        4

Zum Beispiel: A(4|4)->A'(2|0),

B(2|4)->B'(4|0) und C'(3|3)->C'(3|1)

Punktspiegelung an Z(3|2)

c)Drehung um den Ursprung mit dem Winkel α = 30°.

      cos(α)         -sin(α)
e' = (      )  e' = (       )
 1    sin(α)     2     cos(α)

Also sind die Abbildungsgleichungen

  ——>    cos(α)  - sin(α) ->
  x'  = (                )x
         sin(α) +  cos(α)

Für α = 30° also

  ——>    0,866   - 0,5 ->
  x'  = (             )x
         0,5     0,866

Zum Beispiel A(4|2,5) -> A'(2,21|4,17)

             B(7|1,5) -> B'(4,81|5,67)

             C(6|6)   -> C'(2,20|8,20)

Drehung um 30°. Drehzentrum = Ursprung
d) Drehung:

   Drehwinkel: α = 30° um Drehzentrum Z(3|2).

Diese Drehung kann man sich vorstellen als

Verkettung der folgenden Abbildungen

Parallelverschiebung Z->O:

->  ->  ->     ->   3
x = x - b  mit b = ( )
 1                  2

                                ->     ->
Drehung um O (siehe Beispiel c) x  = M·x
                                 2      1

          cos(α)  - sin(α)
mit M =  (                )
          sin(α) +  cos(α)

                       ->   ->   ->
und Verschiebung O->Z  x' = x  + b
                             2

      ->      ->  ->    ->     ->  ->    ->
Somit x' = M·(x - b ) + b  = M·x + b - M·b

    ->     ->   3     0,866   - 0,5   3
Mit b  - M·b = ( ) - (             )·( )
                2     0,5     0,866   2

    1,401
= (      ) also
   -1,232

 ————————————————————————————————————
| ->   0,866   - 0,5   ->    1,401   |
| x' =(              )·x + (       ) |
|      0,5     0,866        -1,232   |
 ————————————————————————————————————

Beispiel: A(4|2) -> A'(3,867|2,5)

          B(6|3) -> B'(5,098|4,366)

          C(5|5) -> C'(3,232|5,598)
Drehung um 30° mit Drehzentrum Z(3|2)

III Beispiele zur Ähnlichkeitsabbildungen


a) Zentrische Streckung.

Zentrum O. Streckfaktor 3.

->    3 0  ->
x' = (   )·x   Zum Beispiel:
      0 3

A(1|1)   -> A'(3|3)

B(4|0,5) -> B'(12|1,5)

C(3|1,5) -> C'(9|4,5)

>Zentrische Streckung

b) Zentische Streckung mit Zentrum Z(3|2)

   und Streckfaktor k = -3.

->    a     -3   ->     c      0
e -> ( ) = (  ), e  -> ( ) = (  )
 1    b      0    2     d     -3

——>    e     12
OO' = ( ) = (  ). Die Abbildungsgleichung ist
       f      8

         ——>    -3  0  ->   12
demnach: x'  = (     )·x + (  )
                 0 -3        8

Zum Beispiel: A(0,5|2,5)-> A'(10,5|0,5)

              B(1,5|2) -> B'(7,5|2)

              C(1,5|3) -> C'(7,5|-1)

Zentrische Streckung. Z(3|2) k=-3

c) Die Ähnlichkeitsabbildung, mit

——>    4       ——>    3
e'  = (  ) und e'  = ( )
 1     -3       2     4

——>    e     2
OO' = ( ) = ( ).
       f     2

Diese Affinität ist eine Ähnlichkeitsabbildung,

    ——>     -->
 da e'  und e'  senkrecht aufeinander stehen
     1       2

und die gleiche Länge 5 haben.

——>     4 3  ->   2
x'  = (    )·x + ( ) . Zum Beispiel:
       -3 4       2

A(0,5|0,5) -> A'(5,5|2,5)

B(1|0,5)   -> B'(7,5|1)

C(0,5|1)   -> C'(7|4,5)

Ähnliche Abbildung
Diese Abbildung kann man sich als Verkettung

einer Drehung um O(0|0) mit 36,87°,

einer zentrischen Streckung um O(0|0 mit

dem Streckfaktor 5 und einer

                          2
Parallelverschiebung  um ( )  vorstellen.
                          2

IV Beispiel einer affinen Abbildung, ...

... die weder eine Kongruenzabbildung noch eine Ähnlichkeitsabbild ist.

a) Die Scherung, welche die Rechtsachse fest lässt

mit E (1|0) -> E'(1|0)
     1          1

und E (0|1) -> E'(2|1)
     2          2

->    1 2  ->
x' = (   )·x  zum Beispiel
      0 1

A(1|3) -> A'(7|3)

B(3|1) -> B'(5|1)

C(5|3) -> C'(11|3)

D(3|5) -> D'(13|5)

B "wandert um 2 nach rechts",

A und C "wandern um 6 nach recht",

D "wandert um 10 nach rechts":

Je größer der Abstand von der x-Achse

um so größer die "Wanderung".
Scherung

b) Die senkrechte Parallelprojektion,
welche die Rechtsachse fest lässt

mit E (1|0) -> E'(1|0)
     1          1

                    1
und E (0|1) -> E'(0|-)
     2          2   2

->    1  0   ->
x' = (     )·x  zum Beispiel
      0 1/2

A(1|1) -> A'(1|1/2)

B(2 1/2|0) -> B'(2 1/2|0)

C(2|2 1/4) -> C'(2|1 1/8)

Die Punkte wandern senkrecht zur

x-Achse. Der Abstand halbiert sich.     

Aus einem Kreis wird eine Ellipse.
senkrechte Parallelprojektion

V Koordinatentransformationen in R2

Koordinatentransformationen hängen eng mit Affinitäten zusammen:

Betrachtet man die Affinität, die das Koordinatensystem (0,E1,E2) auf das Koordinatensystem (O',E'1,E'2) abbildet, dann ist die Abbildungsgleichung, welche die Koordinaten eines Punktes im zweiten Koordinatensystem aus den Koordinaten des ersten Koordinatensystems berechnet, gerade die Umkehrabbildung dieser Affinität.


                    ->    a      ->    c
Sei mit O'(e|f) und e' = ( ) und e' = ( )
                     1    b       2    d

ein zweites Koordinatensystem festgelegt.

Dann gilt für die Koordinaten (x'|x') von P(x |y )
                                1  2         1  1

                                     -> ->
bezüglich des Koordinatensystems (O',e',e')
                                      1  2

              ——>     ——>      ->     ->    ——>
die Beziehung e' x' + e' x'  = e x  + e x - OO'
               1  1    2   2    1 1    2 2

        ——>   x1'
Mit mit x' = (   ) berechnet sich auf das erste
              x2'

                            a c  x1'     x1     e
Koordinatensystem bezogen: (   )(   ) = (  ) - ( ),
                            b d  x2'     x2     f

      a c  ->   ->    e       ->    x1
also (   )·x' = x  - ( )  mit x  = (  )
      b d             f             x2

          x1'                                  -> ->
Achtung: (   ) sind keine Koordinaten bez. (0, e ,e )!
          x2'                                   1  2

     a' c'      1     d  -c
Sei (     ) = ——————·(     ) die inverse Matrix,
     b' d'    ad -bc  -b  a

            —————————————————————————————
           | ——>   a' c' ->    a' c'   e |
dann folgt | x' = (     )x  - (     )·( )|
           |       b' d'       b' d'   f |
            —————————————————————————————

Diese Abbildungsgleichungen sind formal dieselben,

wie die Umkehrabbildung der Affinität f,

         ->  ->           ->  ->
die (0, e  , e  ) auf (O',e' ,e' ) abbildet.
         1    2            1   2

Der Punkt Q(4|5) (siehe rechts) wird

auf P(12|5) abgebildet.  Also ist Q(4|5)

das Urbild von f.
Koordinatentransformation

       a  c      1  1       e    3        a' c'     0,5  0,5
Hier: (    ) = (     ) und ( ) =( ) Mit (      ) = (        )
       b  d     -1  1       f    2        b' d'     -0,5 0,5

       ->     0,5 -0,5  ->    -0,5
folgt: x' = (         )·x  + (    )
              0,5  0,5        -2,5

Zum Beispiel hat P(12|3) im zweiten Koordinatensystem

                  0,5 -0,5   12     -0,5      4
die Koordinaten (         )·(  ) + (    )  = ( )
                  0,5  0,5    3     -2,5      5

Somit P(12|5)= PKoordinaten bezogen auf das zweite System(4|5).

             ——>     ->   ->     ———>   ->    ->
Das bedeutet OP  = 12e + 5e  und O'P = 4e' + 5e' .
                      1    2             1     2

Affinitäten im R3

I Allgemein

Ähnlich wie im zweidimensionalen Fall, erhält man

die Abbildungsvorschrift der Affinität

     |a  d  g|      |j|
->   |       | ->   | |
x' = |b  e  h|·x  + |k| aus
     |       |      | |
     |c  f  i|      |l|

      |a|       |d|        |g|           |j|
->    | |  ->   | |  ->    | |     ——>   | |
e'  = |b|, e' = |e|, e'  = |h| und OO' = |k|.
 1    | |   2   | |   3    | |           | |
      |c|       |f|        |i|           |l|

                                 -> ->  ->
[Die Koordinaten bezogen auf (O, e ,e , e ).]
                                  1  2   3


Die Multiplikation der Matrix mit einem Vektor ist   |a d g| |x1| |ax1 + dx2 + gx3| | | | | | | definert als |b e h|·|x2| = |bx1 + ex2 + hx3| | | | | | | |c f i| |x3| |cx1 + fx2 + ix3|
Affine Abbildung in R^3

Die Affinität ist eine Ähnlichkeitsabbildung

                  ->   ->     ->
wenn die Vektoren e' , e  und e' gleich lang
                   1    2      3

sind und paarweise senkrecht aufeinander stehen.

Haben diese Vektoren zudem die Länge 1,

handelt es sich um eine Kongruenzabbildung.


II Beispiele für Kongruenzabbildungen im R3


a) Translation (Parallelverschiebung)

                               |a|
                     ->   ->   | |
Abbildungsgleichung: x' = x  + |b|
                               | |
                               |c|
               |5|
      ->   ->  | |
Hier: x' = x + |4|
               | |
               |3|
Translation mit (5|4|3)

b) Rotation um die x -Achse:
                    1

     |1|        |  0   |       |   0   |
->   | |   -->  |      |     ->|       |
e' = |0|, e'  = |cos(α)|, e' = |-sin(α)|
 1   | |   2    |      |   3   |       |
     |0|        |sin(α)|       | cos(α)|

                          |1    0       0    |
                     ->   |                  | ->
Abbildungsgleichung: x' = |0  cos(α)  -sin(α)|·x
                          |                  |
                          |0  sin(α)  cos(α) |

Rotation um die x1-Achse

Analog leitet man die folgenden zwei Abbildungsgleichungen her:

c) Rotation um die x -Achse
                    2

      |cos(β)   0   sin(β)|
 ->   |                   | ->
 x' = |  0      1     0   |·x            
      |                   |
      |-sin(β)  0   cos(β)|


     d) Rotation um die x -Achse:
                         3

        |cos(γ)  -sin(γ)  0 |
        |                   | ->
      = |sin(γ)   cos(γ)  0 |·x
        |                   |
        | 0        0      1 |
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