Joachim Mohr Mathematik Musik

Programm: TTRechenblatt

Das Programm TTRechenblatt wurde Ende Februar 2007 in TTMathe integriert.

Aufgabe: Berechnen Sie die Seiten a und b eines Bildschirms mit der Diagonale 17 Zoll bei einem Seitenverhälnis von a) z:n=4:3 und b) z:n=16:9

2fernseher

     Lösung:

     Sei a=z*x und b=n*x. Dann gilt:

      2   2   2    2   2   2
     d = a + b  = x *(z + n )

     Daraus folgt:

     x = d/sqrt(z^2+n^2)

Diese Rechnung kann das Rechenblatt nicht, aber den Rest der Rechnung.

Sie geben im Rechenblatt ein (Kommentare nach zwei Leerstellen)

  1 Zoll = 2,54 cm
z=2,54
  Bildschirmdiagonale 17 Zoll
d=17z
  Seitenverhältnis 16:9
z=16
n=9
  d^2=x^2(z^2+n^2)
x=d/sqrt(z^2+n^2)
  Rechtecksseiten:
a=z*x
b=n*x

Mit Klick auf "Rechne" im Rechenblatt erhalten Sie:

   1 Zoll = 2,54 cm
z=2,54=2 27/50
   Bildschirmdiagonale 17 Zoll
d=17z=43'9/50=43,18
   Seitenverhältnis 16:9
z=16
n=9
   d^2=x^2(z^2+n^2)
x=d/sqrt(z^2+n^2) =2159/16850*sqrt(337)=2,352164481
   Rechtecksseiten:
a=z*x=17272/8425*sqrt(337)=37,634631693
b=n*x=19431/16850*sqrt(337)=21,169480327

Das Ergebnis von z:n = 4:3 erhalten Sie durch diese Änderung: z=16 und n=9

Beispiel für den reellen Zahlenbereich: Sie tippen ein

   Hypothek
p=4%  Zinssatz
t=10000  Tilgungsrate
n=0  Jahr
k=200000  Hypothek
  Nach einem Jahr
  Kapital mit 4% verzinst
  -Tilgungsrate 10000 EUR
  (Kopiere die nächsten zwei Zeilen)
   und füge sie noch 41 mal ein)
n=n+1
k=k*1,04-10000
n=n+1
k=k*1,04-10000

TTRechenblatt berechnet:

    Hypothek
p=4%=1/25=0,04   Zinssatz
t=10000   Tilgungsrate
n=0   Jahr
k=200000   Hypothek
   Nach einem Jahr
   Kapital mit 4% verzinst
   -Tilgungsrate 10000 EUR
   (Kopiere die nächsten zwei Zeilen)
    und füge sie noch 41 mal ein)
n=n+1=1
k=k*1,04-10000=198000
n=n+1=2
k=k*1,04-10000=195920
n=n+1=3
k=k*1,04-10000=193756'4/5=193756,8
n=n+1=4
k=k*1,04-10000=191507,072
n=n+1=5
k=k*1,04-10000=189167,35488
n=n+1=6
k=k*1,04-10000=186734,0490752
n=n+1=7
k=k*1,04-10000=184203,411038208
n=n+1=8
k=k*1,04-10000=181571,547479736
n=n+1=9
k=k*1,04-10000=178834,409378926
n=n+1=10
k=k*1,04-10000=175987,785754083
n=n+1=11
k=k*1,04-10000=173027,297184246
n=n+1=12
k=k*1,04-10000=169948,389071616
n=n+1=13
k=k*1,04-10000=166746,324634481
n=n+1=14
k=k*1,04-10000=163416,17761986
n=n+1=15
k=k*1,04-10000=159952,824724654
n=n+1=16
k=k*1,04-10000=156350,93771364
n=n+1=17
k=k*1,04-10000=152604,975222186
n=n+1=18
k=k*1,04-10000=148709,174231073
n=n+1=19
k=k*1,04-10000=144657,541200316
n=n+1=20
k=k*1,04-10000=140443,842848329
n=n+1=21
k=k*1,04-10000=136061,596562262
n=n+1=22
k=k*1,04-10000=131504,060424753
n=n+1=23
k=k*1,04-10000=126764,222841743
n=n+1=24
k=k*1,04-10000=121834,791755413
n=n+1=25
k=k*1,04-10000=116708,183425629
n=n+1=26
k=k*1,04-10000=111376,510762654
n=n+1=27
k=k*1,04-10000=105831,57119316
n=n+1=28
k=k*1,04-10000=100064,834040887
n=n+1=29
k=k*1,04-10000=94067,427402522
n=n+1=30
k=k*1,04-10000=87830,124498623
n=n+1=31
k=k*1,04-10000=81343,329478568
n=n+1=32
k=k*1,04-10000=74597,062657711
n=n+1=33
k=k*1,04-10000=67580,945164019
n=n+1=34
k=k*1,04-10000=60284,18297058
n=n+1=35
k=k*1,04-10000=52695,550289403
n=n+1=36
k=k*1,04-10000=44803,372300979
n=n+1=37
k=k*1,04-10000=36595,507193018
n=n+1=38
k=k*1,04-10000=28059,327480739
n=n+1=39
k=k*1,04-10000=19181,700579969
n=n+1=40
k=k*1,04-10000=9948,968603167
n=n+1=41
k=k*1,04-10000=346,927347294

Sie sehen: nach 41 Jahren ist die Restschuld 347 €

Beispiel für den komplexen Zahlenbereich:

    Lösung von ax^3+bx^2-cx+d=0 nach Cardano
    cis(α) = cos(α) + i·sin(α)
a=9
b=-43
c=145
d=-91
    wird auf die red. kub. Gl.
    z^3+p*z+q=0 zurückgeführt.
    Subst. x=z-b/(3*a)
p=c/a-(b/a)^2/3=2066/243=8,502057613
q=2/27*(b/a)^3-1/3*(b/a)*(c/a)+d/a=7,468576945
    Lösung von z^3 + pz + q = 0
    nach Cardano
dd=(q/2)^2+(p/3)^3=36,706802825
    Bedeutung: uc=u^3  vc=v^3
uc=-q/2+sqrt(dd)=2,324325464
vc=-q/2-sqrt(dd)=-9,792902408
u1=uc^(1/3)=sqrt(3)-11/27=1,3246434
u2=u1*cis(120°)=(-1/2*sqrt(3)+11/54)+(3/2-11/54*sqrt(3))*i=sqrt(3)-11/27*cis(120°)
u3=u1*cis(240°)=(-1/2*sqrt(3)+11/54)+(3/2-11/54*sqrt(3))*i=sqrt(3)-11/27*cis(240°)
v1=vc^(1/3)=(1/2*sqrt(3)+11/54)+(3/2+11/54*sqrt(3))*i=sqrt(3)+11/27*cis(60°)
v2=v1*cis(120°)=-sqrt(3)-11/27=-2,139458215
v3=v1*cis(240°)=(1/2*sqrt(3)+11/54)+(3/2+11/54*sqrt(3))*i=sqrt(3)+11/27*cis(300°)
    Suche u und v mit u*v=-p/3!
u=u1=sqrt(3)-11/27=1,3246434   (zum Beispiel)
v=v2=-sqrt(3)-11/27=-2,139458215   (zum Beispiel)
u*v=-2066/729=-2,834019204    =-p3?
-p/3=-2066/729=-2,834019204   (bitte überprüfen!)
    (gleiche Werte für u*v und -p/3?)
z1=u+v=-22/27=-0,814814815
z2=u*cis(120°)+v*cis(240°)=11/27+3i=0,407407407+3i=1/27*sqrt(6682)*cis(82,27°)
z3=u*cis(240°)+v*cis(120°)=11/27-3i=0,407407407-3i=1/27*sqrt(6682)*cis(277,73°)
    Resubstitution
x1=z1-b/(3*a)=7/9=0,777777778
x2=z2-b/(3*a)=2+3i=2+3i=sqrt(13)*cis(56,31°)
x3=z3-b/(3*a)=2-3i=2-3i=sqrt(13)*cis(303,69°)
    Probe
a*x1^3+b*x1^2+c*x1+d=0
a*x2^3+b*x2^2+c*x2+d=0
a*x3^3+b*x3^2+c*x3+d=0

Berechnung Entfernung Luftlinie Berlin Lissabon

Gegeben	Breite	Länge
Brandenburger Tor	52.5164°	13.3777°
Lissabon Tejo Brücke	38.692668°	-9.177944°

Sie geben ein:

    Brandenburger Tor    52.5164   13.3777
    Lissabon Tejo Brücke 38.692668 -9.177944
lat1=52.5164°
lon1=13,3777°
lat2=38,692668°
lon2=-9,177944°
h=sin(lat1)* sin(lat2)+cos(lat1)*cos(lat2)*cos(lon2 - lon1)
   Entfernung Berlin Lissabon=
dist=6378.388*arccos(h)

Das Rechnblatt berechnet die Entfernung zu dist = 2317,722 km

    Brandenburger Tor    52.5164   13.3777
    Lissabon Tejo Brücke 38.692668 -9.177944
lat1=52.5164°=0,916584091
lon1=13,3777°=0,233484911
lat2=38,692668°=0,675314453
lon2=-9,177944°=-0,160185341
h=sin(lat1)* sin(lat2)+cos(lat1)*cos(lat2)*cos(lon2 - lon1)=0,934703928
   Entfernung Berlin Lissabon=
dist=6378.388*arccos(h)=2317,72236833