Die Teilertopologie auf ℕ

Ein Teilmenge A von ℕ heißt offen, wenn mit n∈A alle Teiler von n in A liegen.
Definition: ‹n›={m≤n|m teilt n}

Beispiele für offene Mengen:

• {1}, {1,2}, {1,3},‹4›={1,2,4},{1,5},‹6›={1,2,3,6},..., ‹24›={1,2,3,4,6,8,12,24},...
• ‹7735›=<1,5,17,13,17>={1,5,7,13,17, 35,65,85,91,119,221, 455,595,1547, 7735},
  ={1,a,b,c,d,ab,ac,ad,bc,bd,abc,abd,bcd,abcd} für a=5,b=7,c=13 und d=17,...

Satz:Die offenen Mengen von ℕ bilden eine Topologie.
Beweis:

• Die leere Menge und die Grundmenge ℕ sind offen.
• Die Schnittmenge von zwei offenen Mengen ist wieder offen
• Die Vereinigung von zwei offenen Mengen ist wieder offen.
  Beispiel: {1,5}∪{1,7}={1,5,7} ist offen. ‹24›∪‹7735› ist offen.

Umgebungen

Definition:

• A⊆ℕ ist offene Umgebung von n, wenn A offene Menge und n∈A
• B ist Umgebung von n, wenn es eine offene Umgebung A von n gibt mit A⊆B.

Satz: ‹n› ist offene Umgebung von m, wenn m Teiler von n ist.

Beispiele für offene Umgebungen

{1,2} ist offen Umgebung von 2.
‹7735› ist offene Umgebung von 5 oder 7 oder 35 oder 7735 ...