Joachim Mohr   Mathematik Musik
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Erläuterung für Nichtmathematiker
zu den Cent-Angaben für Tonhöhenunterschiede

Zur Berechnung der Centangaben benötigt man den Logarithmus. Bitte lassen Sie sich von diesem Begriff jetzt nicht abschrecken. Dieser wird hier erläutert und ich hoffe, dass damit die Formeln für Sie als Musikinteressierten und Nichtmathematiker einigermaßen verständlich werden.

Man hat sich darauf geeinigt, dass als Maß für einen (gleichstufigen) Halbton 100 Cent (analog zu 100 %) angegeben werden.

Die Oktave (12 Halbtöne) wird demnach mit 1200 Cent angeben.

Der Vergleich mit den Frequenzen ist folgende:

Eine Oktav höher: Die Frequenz hat sich verdoppelt (2=21), also um 1·1200 Cent erhöht.
Zwei Oktaven höher: Die Frequenz hat sich vervierfacht (4=22), also um 2·1200 Cent erhöht.
Drei Oktaven höher: Die Frequenz hat sich verachtfacht (8=23), also um 3·1200 Cent erhöht.


Man erkennt hier, dass die Centangabe proportional zur Potenz zur Basis 2 ist. Und das wiederum erklärt, dass die Centangabe logarithmisch ist, denn der Logarithmus ist die Umkehrung zum Potenzieren.

Grob gesagt: Logarithmen sind Potenzen.

Und: Unser Gehör empfindet die Frequenzen - wie auch die Lautstärke - logarithmisch und addiert Intervalle (zum Beispiel: große Terz + kleine Terz = Quint).
Bei der Centangabe werden die Intervalle ebenfalls addiert - im Gegensatz zur Multiplikation von Frequenzverhältnissen.

Deshalb hat es einen Sinn, Frequenzunterschiede durch Logarithmen auszudrücken.
Um das Maß zu verfeinern sagt man nun:

Statt 1 Oktave höher: 1200 Cent höher.
Statt 2 Oktaven höher: 2400 Cent höher.
Statt 3 Oktaven höher: 3600 Cent höher.
...

Was sind Logarithmen

Logarithmus zur Basis 10:
log10=1; log100=2; log1000=3; log10000=4; log100 000=5; ...
logx ist die Zahl, mit der man 10 potenzieren muss, um x zu erhalten.

Beispiel: log100 000=5, da 105=10·10·10·10·10=100 000.

(Hier wird der Zehnerlogarithmus mit log bezeichnet, häufig sieht man auch die Bezeichnung lg.)

Logarithmus zur Basis 2:
lb2=1; lb4=2; lb8=3; lb16=4; lb32=5; ...
lbx ist die Zahl, mit der man 2 potenzieren muss, um x zu erhalten.

Beispiel: lb32=5, da 25=2·2·2·2·2=32

Wir benötigen den "binären" Logarithmus lb, für den Ihr Taschenrechner wahrscheinlich keine Taste hat, wohl aber für den Logarithmus log zur Basis 10. Das ist weiter kein Problem. 
                    log x                     log 12   1,07918
Umrechnung: lb x =  —————.  Beispiel: lb 12 = —————— = ——————— = 3,58496
                    log 2                     log 2    0,30103

Umrechnung von Frequenzverhältnissen nach der Formel
y= lb(x)·1200 Cent

Ist das Frequenzverhältnis x eines Intervalls y gegeben, so gibt man nun die Intervallgröße mit dem Zweierlogarithmus lbx an:

y = lbx, jedoch in einer Skala, bei der die Oktave 1200 Cent (12 Halbtöne) beträgt.

                                                 1
Das heißt: mit der Vereinbarung, dass 1 Cent = ———— (einer Oktav) ist, ergibt sich
                                               1200
                     1
y = lbx = lbx·1200· ————  = lbx·1200 Cent.
                    1200


Ähnlich ist die Rechnung bei der Prozentrechnung:

              1                       1     1       1
(Der Anteil   - ergibt sich mit 1% = ——— zu - = 25·——— = 25%)
              4                      100    4      100
Für die Quinte mit dem Frequenzverhältnis 3/2 ergibt sich zum Beispiel:

y = lb(3/2)·1200 Cent = 702 Cent.

Formeln 

                                                                          y
                                                                       —————————
                         y                                             1200 Cent
y=lb(x) Umkehrung:  x = 2   oder   y=lb(x)·1200 Cent    Umkehrung: x =2

Beispiel: x=9/8 (Großer Ganzton) => y=lb(9/8)·1200=203,9 Cent

                                                     100    1
                                                    ————   ——
                                                    1200   12
          y=100 Cent (gleichstufiger Halbton) => x=2    = 2  = 1,05946
(Zur Erinnerung: 21/12= 12. Wurzel aus 2).

Ist x rational, aber keine 2-er Potenz, dann ist y irrational.

Ist y rational aber y nicht ganzzahlig, dann ist x irrational.

In der folgenden Tabelle beziehen sich die Intervalle auf die reine C-Dur/c-moll-Tonleiter

Intervall reinIntervall gleichstufig(rational)Frequenzverhältnis(irrational)Centangabe(irrational)Centangabe (genau)
chrom. Halbton(es-e) 25/24=1,04167 70,672 
 Halbton 1,05946=21/12 100
Halbton (h-c) 16/15=1,06667 111,731 
kleiner Ganzton(d-e) 10/9=1,11111 182,404 
 Ganzton 1,12246 200
großer Ganzton(c-d) 9/8=1,125 203,910 
 kleine Terz 1,18921 300
kleine Terz(c-es) 6/5=1,2 315,641 
große Terz(c-e) 5/4=1,25 386,314 
 große Terz 1,25992 400
Quart(c-f) 4/3=1,33333 498,045 
 Quart 1,33484 500
überm. Quart(f-h) 45/32=1,40625 590,224 
 halbe Oktave 1,41421 = sqrt(2) 600
verm. Quint(h-f) 64/45=1,42222 609,776 
 Quint 1,49831 700
Quint(c-g) 3/2=1,5 701,955 
überm. Quint(as-e) 25/16=1,5625 772,627 
 kleine Sext 1,58740 800
kleine Sext(c-as) 8/5=1,6 813,686 
große Sext(c-a) 5/3=1,66667 884,359 
 große Sext 1,68179 900
 kleine Septime 1,78180 1000
kleine Septime 1(d-c) 16/9=1,77778 996,090 
kleine Septime 2(e-d) 9/5=1,8 1017,596 
große Septime(c-h) 15/8=1,875 1088,269 
 große Septime 1,88775 1100
Oktav(c-c)Oktav2/1=2  1200


Die Berechnung von Hintereinanderausführungen von Intervallen erfolgt folgendermaßen:

Die Frequenzverhältnisse werden multipliziert.

Die Centangaben (Logarithmen der Frequenzverhältnissen) werden addiert.

Kleiner Crashkurs: Potenzen (Hochzahlen) und Logarithmen und deren Gesetze.

Der Zusammenhang von Multiplikation und Addition ergibt sich nach dem bekannten Logarithmusgesetz:

log(u·v) = log(u) + log(v) bzw.

lb(u·v) = lb(u) + lb(v).

Dies folgt aus der Tatsache, dass Logarithmen Potenzen sind und für Potenzen gilt das Umgekehrte:
Potenzen werden multipliziert, indem die Hochzahlen addiert werden.

an·am = a n + m.

Das wird klar, wenn Sie am folgenden Beispiel das Zusammenwirken von Potenzen und Logarithmen betrachten.

u = 24 = 2·2·2·2 = 16 und v = 25 = 2·2·2·2·2 = 32

u·v = 24·25 = (2·2·2·2)·(2·2·2·2·2) = 29 = 512 (Die Hochzahlen werden addiert)

lb16 = lb 24 = 4 (Das ist die Hochzahl zur Basis 2 von 16)

lb32 = lb 25 = 5 (Das ist die Hochzahl zur Basis 2 von 32)

lb (16·32) = lb 512 = 9, anders ausgedrückt:

lb (24·25) = lb 29 = 9.

Somit: 9 = lb(16·32) = lb 16 + lb 32 = 4 + 5, für die Hochzahlen gilt nämlich 9 = 4 + 5

In der folgenden Tabelle ergänzen sich die Intervalle jeweils zu einer Oktav:

Addition von Intervallen Multiplikation der Frequenzen Addition der Centwerte
Halbton + große Septime (16/15)·(15/8) = 2 112 + 1088 = 1200
kl. Ganzton + kleine Septime 2 (10/9)·(9/5) = 2 182 + 1018 = 1200
gr. Ganzton + kleine Septime 1 (9/8)·(16/9) = 2 204 + 996 = 1200
kleine Terz + große Sext (6/5)·(5/3) = 2 316 + 884 = 1200
große Terz + kleine Sext (5/4)·(8/5) = 2 386 + 814 = 1200
Quart + Quint (4/3)·(3/2= = 2 498 + 702 = 1200
überm. Quart + verm. Quint (45/32)·(64/45)= 2 590 + 610 = 1200


Die unreinen Intervalle (Die Angaben beziehen sich auf die C-Dur/c-moll-Tonleiter):

Komma bedeutet syntonisches Komma (Unterschied zwischen großem und kleinem Ganzton):
Intervall Frequenzverhältnis Centwert
kl.Terz - Komma(d-f) (6/5):(81/80)=32/27 316 - 22 = 294
Quart + Komma (a-d) (4/3)·(81/80) = 27/20 498 + 22 = 520
überm. Quart - Komma (es-a) 15/18 569
Quint - Komma (d-a) (3/2):(81/80) = 40/27 702 - 22 = 680
gr. Sext + Komma (f-d) (5/3)·(81/80) = 27/16 884 + 22 = 906