Joachim Mohr   Mathematik Musik Delphi

Der Unterschied zwischen Cis und Des usw.

Am Klavier haben Cis und Des die gleiche schwarze Taste zwischen C und D. Da aber die gleichstufige Stimmung des Klaviers ein Kompromiss in der Intonation ist, wird hier der Unterschied in reiner Stimmung betrachtet.

Hier ist Cis 1/5 Halbton (20 Cent) tiefer als Des

cis_des
Cis und Des im Zusammenklang
Frequenz: cis = 556,9 Hz des = 563,2 Hz
Mit C=528 Hz und D=528•9/8 Hz = 594 Hz folgt: Da Cis-D und C-Des diatonische Halbtöne sind (Frequenzverhältnis: 16/15) ergibt sich:
Cis = 594•15/16 Hz = 556,9 Hz und Des = 528•16/15 Hz = 563,2 Hz
Akkorde in Eulerschreibweise:
c 'es g c
f f 'as des
,a ,e ,a ,,cis
,d ,,fis ,a ,d
Intervall ,,cis-des = (des-,,cis) = (des - cis) + 2*syntonisches Komma = 2*syntonisches Komma - pythagoreisches Komma = 19,55 Cent.

Hier ist Gis 2/5 Halbton Cent (genau 41 Cent) tiefer als Gis.

As Gis
Mit Hilfe der Eulerschreibweise wird hier der Unterschied berechnet.
Es handelt sich hier um eine vorübergehende Modulation von C-Dur nach ,A-Dur (Terzverwandschaft).
Die Tonleitern sind:
C-Dur: c d ,e f g ,a ,h c. Der zweite Akkord ist die Mollsubdominante mit 'as (und Sixte ajoutée).
,A-Dur: ,a ,h ,,cis ,d ,e ,,fis ,,gis ,a.
Gis und As liegen 12 reine Quinten auseinander und unterscheiden sich oktaviert um das pythagoreische Komma.
In der folgenden Rechnung ist pK = pythagoreisches Komma und sK = syntonisches Komma.
Also: Gis - As = pK ⇒ 'AS - ,,Gis = (AS + sk) - (Gis - 2sK) = 3sK - pK = 41,059 Cent. Dieses Intervall heißt Kleine Diesis.
Früher waren unsere Tasteninstrumente noch mitteltönig gestimmt. Ihre Intonation war reiner als unsere heutigen gleichstufig gestimmtem Tasteninstrumente. Allerdings konnte man damit nicht alle Tonarten spielen. Deshalb wurden Instrumente mit jeweils zwei schwarzen Tasten gebaut. Der Ton der Tasten von Cis und Des, Dis und Es, Fis und Ges, Gis und As sowie Ais und B unterschieden sich genau um das Diaschisma = 41 Cent.

Hier ist Fis schon über 3/5 Halbton (genau 63 Cent) tiefer als Ges.

Fis Ges

Mit Hilfe der Eulerschreibweise wird hier der Unterschied berechnet.
Nach einem D-Dur Akkord erfolgt mit Hilfe des Neapolitanischen Septakkordes b des ges eine Modulation nach f-moll.
In Eulerschreibweise sind die Akkorde:
,d ,a ,d ,,fis
'b 'b ''des ''ges
c g c .e
f 'as c f
Mit pK=pythagoreisches Komma = 23,5 Cent und sK = syntonisches Komma = 21,5 Cent errechnet sich:
''ges-,,fis = (ges+2sk) - (fis-2sK) = (ges-fis) + 4sk= 4sk - pk = 62,565 Cent.
Dieses Intervall heißt große Diesis.
Gleichstufig: Man "erhört sich" statt b des ges den eharmonischen Akkord ais cis fis.