Joachim Mohr   Mathematik Musik Delphi

Mathematik mit ChatGPT

ChatGPT kann gut recherchieren

Beispiele mit meinen Fragen

Frage: Gibt es mathematische Forschungen, die ohne eine praktische Anwendung gemacht werden?
ChatGPT
Ja, es gibt mathematische Forschungen, die ohne eine direkte praktische Anwendung durchgeführt werden. Mathematikerinnen und Mathematiker widmen sich oft der Erforschung abstrakter mathematischer Strukturen und Konzepte, die möglicherweise nicht unmittelbar in der realen Welt angewendet werden müssen.

Ein bekanntes Beispiel hierfür ist die Forschung in den Bereichen der reinen Mathematik, wie beispielsweise in der Zahlentheorie, der Algebra oder der Topologie. Zahlentheoretikerinnen und Zahlentheoretiker untersuchen beispielsweise Eigenschaften von ganzen Zahlen oder Primzahlen, ohne dass es unmittelbar offensichtliche praktische Anwendungen gibt. Die Mathematikerinnen und Mathematiker verfolgen in solchen Fällen oft intrinsische Interessen an der Struktur und den Eigenschaften der mathematischen Objekte.

Darüber hinaus können mathematische Forschungen auch indirekte praktische Anwendungen haben, die sich erst später zeigen. Ein prominentes Beispiel ist die Gruppentheorie, die zunächst als ein abstraktes mathematisches Gebiet betrachtet wurde, aber später Anwendungen in der Kryptographie und in der Theorie der Teilchenphysik gefunden hat.

Es ist wichtig anzumerken, dass auch mathematische Forschungen ohne unmittelbare praktische Anwendung oft langfristige Auswirkungen haben können. Die Entwicklung neuer mathematischer Konzepte und Techniken kann zu einem besseren Verständnis der Welt um uns herum führen und später zu Anwendungen in verschiedenen Bereichen der Wissenschaft, Technologie und des Ingenieurwesens führen.


Frage: Was sind in der Mathematik Gruppen?
ChatGPT
In der Mathematik ist eine Gruppe eine algebraische Struktur, die aus einer Menge von Elementen und einer Verknüpfung besteht, die gewisse Eigenschaften erfüllt. Gruppen sind eine der grundlegenden Strukturen der abstrakten Algebra und spielen eine wichtige Rolle in vielen mathematischen Disziplinen.

Formal definiert eine Gruppe G als Tripel (G, ∗, e), wobei G eine Menge ist, ∗ eine Verknüpfung (oftmals als Multiplikation geschrieben) auf G ist und e ein spezielles Element in G ist, das als Einheitselement oder neutrales Element bezeichnet wird.

Eine Verknüpfung ∗ auf G ist eine Abbildung, die jedem Paar von Elementen (a, b) in G ein eindeutiges Element a ∗ b in G zuordnet. Diese Verknüpfung muss die folgenden Eigenschaften erfüllen:

Assoziativität: Für alle a, b und c in G gilt (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c). Die Reihenfolge der Verknüpfungen ist also unerheblich.

Existenz des Einheitselements: Es gibt ein Element e in G, so dass für jedes Element a in G gilt a ∗ e = e ∗ a = a. Das Einheitselement ist neutral bezüglich der Verknüpfung und verändert andere Elemente nicht.

Existenz des Inversen: Für jedes Element a in G gibt es ein Element b in G, so dass a ∗ b = b ∗ a = e. Das Inverse eines Elements a wird oft mit a^(-1) oder -a bezeichnet und kehrt die Wirkung der Verknüpfung um.

Wenn eine Gruppe auch das Kommutativgesetz erfüllt, d.h., wenn für alle a und b in G gilt a ∗ b = b ∗ a, wird die Gruppe als kommutativ oder abelsch bezeichnet. Eine nicht-kommutative Gruppe wird auch als nicht-abelsch bezeichnet.

Gruppen haben viele wichtige Eigenschaften und Strukturen, die erforscht werden können. Beispielsweise kann die Ordnung einer Gruppe die Anzahl der Elemente in der Gruppe angeben. Eine Untergruppe ist eine Teilmenge einer Gruppe, die selbst eine Gruppe mit der gleichen Verknüpfung bildet.

Gruppen finden in verschiedenen mathematischen Bereichen Anwendung, einschließlich der Zahlentheorie, der Geometrie, der Kryptographie und der theoretischen Physik. Sie sind ein grundlegender Bestandteil der modernen Algebra und bieten eine abstrakte Sicht auf symmetrische und strukturelle Eigenschaften von mathematischen Objekten.


Nenne mir Beispiele von Gruppen in der Mathematik!
ChatGPT
In der Mathematik gibt es verschiedene Gruppen, die eine wichtige Rolle spielen. Hier sind einige Beispiele von Gruppen in der Mathematik:

Die additive Gruppe der ganzen Zahlen (Z): Diese Gruppe besteht aus allen ganzen Zahlen und der Verknüpfung der Addition.

Die multiplikative Gruppe der rationalen Zahlen ohne Null (Q*): Diese Gruppe besteht aus allen rationalen Zahlen außer der Null und der Verknüpfung der Multiplikation.

Die Gruppe der Matrizen (GL(n)): Diese Gruppe besteht aus allen invertierbaren n × n-Matrizen mit der Verknüpfung der Matrizenmultiplikation.

Die symmetrische Gruppe (S_n): Diese Gruppe besteht aus allen Permutationen einer Menge mit n Elementen und der Verknüpfung der Komposition von Permutationen.

Die orthogonale Gruppe (O(n)): Diese Gruppe besteht aus allen orthogonalen Matrizen der Dimension n × n mit der Verknüpfung der Matrizenmultiplikation. Orthogonale Matrizen bewahren die Länge von Vektoren und die Winkel zwischen ihnen.

Die spezielle unitäre Gruppe (SU(n)): Diese Gruppe besteht aus allen unitären Matrizen der Dimension n × n mit Determinante 1 und der Verknüpfung der Matrizenmultiplikation. Unitäre Matrizen erhalten die Länge von Vektoren und die Winkel zwischen ihnen, und haben eine komplexe Determinante mit Betrag 1.

Die zyklische Gruppe (Z_n): Diese Gruppe besteht aus den Restklassen modulo n und der Verknüpfung der Addition modulo n. Die Elemente der Gruppe sind die Zahlen {0, 1, 2, ..., n-1}.

Das sind nur einige Beispiele von Gruppen in der Mathematik. Es gibt noch viele weitere Gruppen, die in verschiedenen mathematischen Strukturen auftreten können.


Frage: Was muss man studieren, um die Galoistheorie zu vestehen?
ChatGPT:
Um die Galoistheorie zu verstehen, sollte man ein mathematisches Studium absolvieren. Die Galoistheorie ist ein Teilgebiet der Algebra, das sich mit den Eigenschaften von Körpererweiterungen beschäftigt. Es ist üblich, dass man zuerst grundlegende Kenntnisse in Algebra erwirbt, bevor man sich spezifisch mit der Galoistheorie beschäftigt.

Im Rahmen eines mathematischen Studiums könnten folgende Kurse relevant sein, um die Galoistheorie zu verstehen:

Lineare Algebra: Hier lernt man die grundlegenden algebraischen Strukturen wie Vektorräume, lineare Abbildungen und Matrizen kennen, die als Grundlage für die Galoistheorie dienen.

Algebraische Strukturen: Dieser Kurs behandelt abstraktere Algebra, einschließlich Gruppen, Ringe und Körper. Es ist wichtig, ein solides Verständnis dieser algebraischen Strukturen zu haben, bevor man sich der Galoistheorie zuwendet.

Körper- und Galoistheorie: Dieser Kurs ist speziell auf die Galoistheorie ausgerichtet. Man lernt über Körpererweiterungen, Galoiskorrespondenz, Galoisgruppen und den Zusammenhang zwischen Körpern und Polynomen. Es werden auch konkrete Anwendungen der Galoistheorie diskutiert.

Kommutative Algebra: Dieser Kurs vertieft das Verständnis von Ringen und Idealen, die in der Galoistheorie eine Rolle spielen. Man beschäftigt sich mit Themen wie maximalen Idealen, Primidealen und ganzen Ringerweiterungen.

Es ist wichtig zu beachten, dass die Galoistheorie ein fortgeschrittenes mathematisches Thema ist und ein gewisses Maß an mathematischem Hintergrundwissen erfordert. Es ist ratsam, sich intensiv mit Algebra und verwandten Themen zu beschäftigen, um die Grundlagen zu beherrschen, bevor man sich der Galoistheorie zuwendet.

Kann Chatgpt Beweise erstellen

Beispiel

Wie kann man beweisen, dass die Anzahl der Elemente einer Untergruppe ein Teiler der Anzahl der Gruppe ist?
ChatGPT
Um zu beweisen, dass die Anzahl der Elemente einer Untergruppe ein Teiler der Anzahl der Gruppe ist, können wir den Satz von Lagrange verwenden. Dieser Satz besagt, dass die Ordnung (Anzahl der Elemente) einer Untergruppe immer ein Teiler der Ordnung der Gruppe ist, sofern die Gruppe endlich ist. richtig. Dafür suchen wir einen Beweis.

Formell ausgedrückt: Sei G eine endliche Gruppe und H eine Untergruppe von G. Dann gilt:

|G| = |H| * [G : H] Richtig

Hierbei bezeichnet |G| die Ordnung (Anzahl der Elemente) der Gruppe G, |H| die Ordnung der Untergruppe H und [G : H] den Index von H in G. Der Index ist definiert als die Anzahl der Linksnebenklassen von H in G.

Wenn der Index [G : H] ein ganzzahliges Vielfaches (??? Was heißt das??? ist, dann ist |H| ein Teiler von |G|. Der "Beweis ist unvollständig
Frage: Warum hat ein Körper keine Nullteiler?

ChatGPT
Ein Körper in der Algebra ist eine algebraische Struktur, die aus einer Menge von Elementen zusammen mit den Operationen Addition und Multiplikation besteht. Ein grundlegendes Merkmal eines Körpers ist, dass er keine Nullteiler enthält. Das bedeutet, dass in einem Körper keine zwei verschiedenen Elemente existieren können, deren Produkt gleich Null ist. (Falsch: 0 und 5 sind verschieden aber 0·5=0. Richtig wäre: Es gibt keine zwei von Null verschiedene Elemente a und b mit a·b=0.)

Es gibt mehrere Gründe, warum ein Körper keine Nullteiler hat:

Erhaltung der Multiplikation: In einem Körper müssen die Regeln der Multiplikation gelten, einschließlich des Distributivgesetzes. Wenn es Nullteiler gäbe, würde das Distributivgesetz verletzt, da das Produkt von Null mit jedem anderen Element immer Null wäre. Dies würde die algebraische Struktur unbrauchbar machen. (Leuchtet nicht ein.)

Eindeutige Inversen: In einem Körper hat jedes Element, außer Null, ein eindeutiges multiplikatives Inverses. Das bedeutet, dass für jedes Element "a" im Körper ein Element "b" existiert, so dass "a * b = 1" (wobei 1 das neutrale Element der Multiplikation ist). Wenn Nullteiler vorhanden wären, könnte diese Eindeutigkeit nicht gewährleistet werden, da mehrere Elemente das gleiche Produkt mit Null ergeben könnten. (Leuchtet nicht ein.)

Bewahrung der Struktur: Ein Körper ist eine algebraische Struktur, die bestimmten Eigenschaften genügt, wie die Assoziativität, Kommutativität und die Existenz von Einheiten (1 für die Multiplikation und 0 für die Addition). Wenn Nullteiler vorhanden wären, könnten diese Eigenschaften verletzt werden, was die Körperstruktur beeinträchtigen würde. (Leuchtet nicht ein.)

Zusammenfassend kann man sagen, dass die Abwesenheit von Nullteilern in einem Körper die Konsistenz und Integrität der algebraischen Struktur aufrechterhält und wichtige Eigenschaften wie die Eindeutigkeit der Inversen und die Erhaltung der Multiplikation gewährleistet. Dies ist der Grund, warum Körper keine Nullteiler haben. (Leuchtet nicht ein.)

statt des Geschwurbel von ChatGPT genügt: Beweis: Hätte der Körper die Nullteiler a·b=0 mit a≠0 und b≠0, dann wäre 1=a-1·a·b·-1=0.

ChatGPD kann nicht logisch denken

1. Beispiel:

Befehl: Erstelle mir die Gruppentafel der Permutationsgruppe von S_3!
CharGPT liefert folgende Gruppentafel
(12) - gemeint ist (1→2) - (23) und (13) sind die Spiegelungn. (1) (123) und (132) die Drehungen
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| •    | (1)  | (12) | (23) | (13) | (123)| (132)|     leider fast alles falsch!
——————————————————————————————————————————————————
| (1)  | (1)  | (12) | (23) | (13) | (123)| (132)|     Zum Beispiel
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| (12) | (12) | (1)  | (132)| (123)| (23) | (13) |     (12)(23)=(123)      
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| (23) | (23) | (132)| (1)  | (12) | (13) | (123)|     (123)(123)=(132)
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| (13) | (13) | (123)| (12) | (1)  | (132)| (23) |     hier aber 
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| (123)| (123)| (13) | (132)| (23) | (1)  | (12) |     (12)(23)=(132) (falsch!)
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| (132)| (132)| (23) | (13) | (123)| (12) | (1)  |     (123)(123)=(1) (falsch!)
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2. Beispiel:

Was ist das Inverse von a*b in einer Grupp (G,*)?
ChatGPT
In einer Gruppe (G, *) ist das Inverse von a * b als (a * b)^(-1) definiert. Das Inverse eines Elements ist dasjenige Element, das, wenn es mit dem ursprünglichen Element multipliziert wird, das neutrale Element der Gruppe ergibt. Stimmt!

Das Inverse von a * b in einer Gruppe (G, *) kann jedoch nicht allgemein als b^(-1) * a^(-1) ausgedrückt werden. Diese Umkehrung ist nicht immer möglich, da die Gruppenoperation * nicht notwendigerweise kommutativ sein muss. falsch!!!

Um das Inverse von a * b zu berechnen, musst du das konkrete Gruppenaxiom und die Gruppenoperation kennen. In einer abelschen Gruppe, also einer kommutativen Gruppe, ist die Umkehrung von a * b gleich b^(-1) * a^(-1), wie zuvor erwähnt. Stimmt!

In nicht-abelschen Gruppen kann das Inverse von a * b jedoch anders sein und kann nicht einfach durch Umkehrung der Elemente ausgedrückt werden. Du müsstest die spezifischen Gruppenaxiome und die Gruppenoperation kennen, um das Inverse von a * b in einer bestimmten Gruppe zu berechnen. falsch!!!
 

ChatGPT antwortet falsch!!


Jeder Student der Mathematik lernt recht bald:

Das Inverse von a*b in einer multiplikativ geschriebenen nicht notwendig kommutativen Gruppe ist stets b^(-1)*a^(-1).

Beweis (a*b)*(b^(-1)*a^(-1))
=a*(b*b^(-1))*a^(-1)
=a*1*a^(-1)=a*a^(-1)=1.
(nach dem Assoziativgesetz)

Beispiel

Auf die Frage "Welchen Grad hat der Zerfällungskörper von x^3-2?" antwortet ChatGPT nur mit wisenschaftlichen Geschwurbel. Ein Laie kann jedoch nicht erkennen, dsas das meiste nicht zielführend für eine Antwort ist.

3. Beispiel

Frage: Welche regelmäßigen Vielecke sind mit Zirkel und Lineal konstruierbar?
ChatGPT: (völlig daneben und falsch: Richtige Antwort: hier...)
Die Konstruktion von regelmäßigen Vielecken mit Zirkel und Lineal ist ein klassisches Problem aus der Geometrie und wurde bereits von den alten Griechen untersucht. Dabei gibt es eine bekannte Regel, die besagt, welche regelmäßigen Vielecke auf diese Weise konstruiert werden können.

Regelmäßige Vielecke, die mit Zirkel und Lineal konstruierbar sind, müssen die folgenden Bedingungen erfüllen:

Die Anzahl der Ecken (n) des Vielecks muss eine Potenz von 2 sein, d.h., n = 2^k, wobei k eine nicht-negative ganze Zahl ist. Dies bedeutet, dass nur regelmäßige Dreiecke (k = 0), Vierecke (k = 1), Achtecke (k = 3), Sechzehnecke (k = 4) usw. konstruierbar sind.

Die Anzahl der Ecken (n) des Vielecks darf keine Primfaktoren enthalten, die größer als 2 sind. Dies bedeutet, dass Vielecke mit einer ungeraden Anzahl von Ecken (z.B. 5, 7, 9, usw.) oder Vielecke mit einer ungeraden Anzahl von Ecken, die durch eine Potenz von 2 geteilt werden (z.B. 10, 12, 14, usw.), nicht mit Zirkel und Lineal allein konstruiert werden können.
Mit diesen Regeln können Sie regelmäßige Dreiecke, Vierecke, Achtecke, Sechzehnecke usw. konstruieren, indem Sie Zirkel und Lineal verwenden. Andere regelmäßige Vielecke, wie das Fünfeck oder Siebeneck, sind nicht konstruierbar, da sie die oben genannten Bedingungen nicht erfüllen.

... und Google?

... schreibt hirnlos ab. Zum Beispiel gab Google zu meiner Frage folgende Antwort:
google_transzendent
Hier hat Google im Buch Das Geheimnis der transzendenten Zahlen einfach abgeschrieben und das Wichtigste weggelassen. Dabei ist der Satz den Google zitiert ausführlich:
Was also ist eine transzendente Zahl? Dazu muss man erklären, was das Gegenteil, nämlich eine algebraische Zahl, ist: Dies ist eine Lösung einer polynomialen Gleichung der Form anxn+...+a1+a0=0 mit ganzen Zahlen an,..a0. Zum Beispiel ist √2 ... solch eine Zahl (sie ist Lösung von x2−2=0). Eine Zahl, die nicht algebraisch ist, wird transzendent genannt.

Achtung: √2 ist keine transzendente Zahl und √2+√3 auch nicht! Diese sind algebraisch. Zahlen, die nicht algebraisch sind, sind transzendent.