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Das arithmetische Mittel im Vergleich zum geometrischen Mittel

oder

Das Quadrat ist unter den Rechtecken mit gleichem Umfang das mit dem größten Flächeninhalt.

Definition: Für zwei reelle Zahlen a und b ist
                             a + b
das arithmetische  Mittel   —————   und
                               2


                          ———
das geometrische Mittel \/a·b  (a,b > 0).

Satz: Das geometrische Mittel ist kleiner als das arithmetische oder gleich:

          ———    a + b
        \/a·b ≤  —————   (*)
                   2
Bemerkung: Diesen Satz kann man verallgemeinern. Siehe hier.

Beweis: Die Idee ist folgende: Unter den Rechtecken mit gleichem Umfang hat das Quadrat den größten Flächeninhalt.

5ar_geo_mittel.gif
       a + b
   c = —————
         2


          2
   a·b ≤ c

Ohne Einschränkung sei b ≥ a.
Wir verlängern a bis c um den gleichen Betrag x wie wir b verkürzen bis c und erhalten dadurch ein Quadrat, dessen Flächeninhalt kleiner als jener des Rechtecks ist.

                                         b - a
Die Rechnung dazu: a + x = b - x  => x = —————
                                           2
                                                  a + b
                   a + x = c und b - x = c => c = —————.
                                                    2
Die Zeichnung zeigt: Der Flächeninhalt des Rechtecks ist kleiner als der Flächeninhalt des Quadrats (gleich nur, falls a = b).

Die Rechnung dazu: a·b + x^2 = (c - x) ·(c + x) + x ^2 = c^2 - x^2 + x^2

                                 a + b 2        ———   a+b
                   Somit: a·b ≤ (—————)  d.h. \/a·b ≤ ——— (a,b ≥ 0).
                                   2                   2

                                                              q.e.d.

Folgerung: Hat ein Rechteck denselben Umfang wie ein Quadrat, so ist sein Flächeninhalt kleiner oder gleich der des Quadrats.
                                                    2
Als Ungleichung geschrieben: 2a + 2b = 4c => a·b ≤ c

                                        2
Etwas vereinfacht: a + b = 2c => a·b ≤ c   (a,b,c ≥ 0)

                                   a+b
Beweis:  Sei a + b = 2c. Dann ist  ——— = c und es folgt aus
                                    2

           ———    a+b                  2
         \/a·b ≤ (———) = c eben a·b ≤ c .
                   2


Ein rein algebraischer Beweis für die Ungleichung (*)

            ———   a+b
          \/a·b ≤ ———            beide Seiten mit 2 multiplizieren!
                   2

            ——
<=>      2\/a·b ≤ a+b            beide Seiten quadrieren!

                     2
<=>      4a·b ≤ (a+b)            (Zu "<=": Wurzel ist hier für a,b > 0 eindeutig)

                 2         2
<=>      4a·b ≤ a + 2ab + b      auf beiden Seiten 4a·b abziehen!

                 2          2
<=>        0  ≤ a  - 2ab + b

                     2
<=>         0 ≤ (a-b)
Da die letzte Ungleichung offensichtlich allgemeingültig ist, ist auch die die erste - äquivalente - Gleichung allgemeingültig.

Eine schöne Illustration ist der Beweis der Ungleichung (*) über die Logarithmusfunktion

5ar_geo_konkav.gif
Definition: Eine Funktion x -> f(x) heißt konkav, wenn x -> f'(x) monoton fallend ist,
d.h. wenn die Tangentensteigungen f'(x) mit wachsendem x kleiner werden.
Hier deutlich von "plus" über "Null" (waagrechte Tangente) zu "minus".
In diesem Fall ist f''(x) ≤ 0 für alle x im Definitionsbereich.

Geometrisch bedeutet dies: Das Schaubild beschreibt eine Rechtskurve.

Analog: konvex, f'(x) monoton wachsend, Linkskurve, f''(x) ≥ 0

Satz: Für jede konkave Funktion f und
          für alle a, b aus dem Definitionsbereich von f gilt:
       f(a)+f(b)     a+b
       ————————  ≤ f(———)    (*)
          2           2
d.h. der Funktionswert des Mittelwertes ist kleiner oder gleich
dem Mittelwert der Funktionswerte.

Allgemeiner: Jede Sehne von A(a|f(a)) nach B(b|f(b))

             verläuft unterhalb der Kurve.


                                  x      a          b - a
Die Parameterform der Sehne ist: ( ) = (    ) + t(         )   (0 ≤ t <1)
                                  y     f(a)      f(b)-f(a)

Die Sehne liegt unterhalb der Kurve, wenn gilt:

                    y ≤ f(x),


f(a) + t(f(b) - f(a)) ≤ f(a + t(b-a)) oder


    (1-t)f(a) + tf(b) ≤ f((1-t)a + tb)        (0 ≤ t ≤ 1) (**)

Johann Jensen zeigte 1905: Für stetige Funktionen sind die Bedingungen (*) und (**) gleichwertig.

5ar_geo_ln.gif

   f(x) = ln(x)   

           1
   f'(x) = -
           x

              1
   f''(x) = - ——  < 0
               2
              x

      x -> ln(x) ist konkav
                               ———   a + b
Beweis der Ungleichung (*)   \/a·b ≤ ————— :
                                       2

Da die Funktion f: x -> ln(x) konkav ist, gilt:


f(a) + f(b)     a+b
————   ———— ≤ f(———)
  2     2        2

ln(a)  ln(b)     a+b
———— + ———— ≤ ln(———)
  2     2         2

                                                                 x
Beide Gleichungen in die streng monoton steigende Funktion x -> e  eingesetzt:


  ln(a)  ln(b)       a+b
  ———— + ————     ln(———)
    2     2           2
e             ≤ e

                                                                     x
Die Gesetzte über die Exponentialfunktion x->e  und ihrer Umkehrfunktion x->ln(x)

                                             ln(p)           1    1
                                             —————           -    -
              ln(p)         p+q   p  q        2        ln(p) 2    2     -
angewand (NB e     = p und e   = e ·e  und e       = (e     )  = p  = \/p ):


  ln(a)   ln(b)       a+b
  ————    ————     ln(———)
    2      2           2         -   -    a+b       ———   a+b
e      ·e       ≤ e         => \/a·\/b  ≤ ———  => \/a·b ≤ ———.
                                           2               2
                                                                 q.e.d
 

Die Verallgemeinerung des Satzes lautet:

                    x + x + x + ... x
n ——————————————     1   2   3       n
\/x ·x ·x ...·x   ≤ ——————————————————
   1  2  3     n          n
Beweis
Weitere Mittelwerte: siehe "Ungleichungen", Zusammengestellt von Wolfgang Kirschenhofer (PDF)
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