Die Homepage von Joachim Mohr
Zerlegung eines Polynoms 4. Grades
Theorem (Formel von Joachim Mohr)
Gesucht: Koeffizienten \(p,q,s,t\), sodass
\[
x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d =
(x^2 + px + q)(x^2 + sx + t)
\]
Schritt 1
Bestimme eine Lösung \(u\) der kubischen Gleichung
\[
u^3 - 2b u^2 + (ac + b^2 - 4d)u + c^2 - abc + a^2 d = 0
\]
Falls \(a,b,c,d\) reell sind, existiert eine reelle Lösung \(u\) mit
\[
4u \le a^2
\]
Schritt 2
Die Koeffizienten berechnen sich anschließend durch
\[
p=\frac{a+\sqrt{a^2-4u}}{2}
\]
\[
q=\frac{(b-u)(\sqrt{a^2-4u}+a)-2c}{2\sqrt{a^2-4u}}
\]
\[
s=a-p
\]
\[
t=\frac{u}{q}
\]