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Capítulo IV. Sistemas musicales armónicos de segunda generación
4.1.- Dispersión armónica en el sistema pitagórico.- Antes de comenzar a realizar el estudio
de algún nuevo sistema musical armónico, siguiendo los mismos criterios establecidos desde un
principio, quizá resulte prudente realizar una recapitulación sobre las características inherentes
al sistema formado por las líneas armónicas L 1 , L 2 y L 3 , exactamente igual al sistema
pitagórico, con el objeto de que sirva de recordatorio en el momento de abordar esos posibles
sistemas sucesivos.
La criba de armónicos, realizada al suprimir todos aquellos pertenecientes a otras líneas no
contempladas dentro del sistema, produce una primera serie físico-armónica particular o serie
básica que, hasta el armónico 2187, queda estructurada del modo siguiente:
Serie físico-armónica particular del sistema pitagórico
1 2 2 1,5 3 1,333333 4 1,5 6 1,333333 8 1,125 9 1,333333 12 1,333333 16 1,125 18 1,333333 24 1,125 27 1,185185 32 1,125
36 1,333333 48 1,125 54 1,185185 64 1,125 72 1,125 81 1,185185 96 1,125 108 1,185185 128 1,125 144 1,125 162 1,185185
192 1,125 216 1,125 243 1,053497 256 1,125 288 1,125 324 1,185185 384 1,125 432 1,125 486 1,053497 512 1,125
576 1,125 648 1,125 729 1,053497 768 1,125 864 1,125 972 1,053497 1024 1,125 1152 1,125 1296 1,125 1458 1,053497
1536 1,125 1728 1,125 1944 1,053497 2048 1,067871 2187...
Se puede apreciar en ese desarrollo que la serie básica está compuesta exclusivamente por siete
intervalos: 2, 1,5, 1,333333, 1,125, 1,185185, 1,053497 y 1,067871, de los cuales hay tres que
tienen una aparición inmediata y consecutiva, precisamente los llamados “consonantes”,
mientras que el resto lo hace cada vez más escalonadamente. Estos siete intervalos son los
clasificados como “físico-armónicos”, pues aparecen espontáneamente en la serie básica cribada
y por tanto son los que rigen el sistema en su conjunto. También puede comprobarse que los
primeros, pilares armónicos en cualquier sistema, desaparecen de la serie de inmediato mientras
los restantes se reiteran bastantes veces más durante el proceso de desarrollo.
Es necesario recordar que a partir de cada uno de los armónicos de la serie básica se forma una
nueva serie físico-armónica particular que se rige por la misma interválica que la primera, por lo
que todo el proceso, en su conjunto, adquiere inequívocamente dimensiones fractales en su
complejo entramado. Como ejemplo, el inicio de la serie físico-armónica del tercer armónico
sería, pues, el siguiente:
Serie físico-armónica particular del tercer armónico
3 2 6 1,5 9 1,333333 12 1,5 18 1,333333 24 1,125 27 1,333333 36 1,333333 48 1,125 54 1,333333 72 1,125 81 1,185185 96...
La secuencia anterior revela claramente la igualdad del proceso en la formación de intervalos
físico-armónicos de ambas series y, en consecuencia, de todas.
El último intervalo físico-armónico considerado en la integridad del sistema es el determinado
por los armónicos 524288 y 531441, cuyo valor es 1,013643, denominado comma pitagórica y
hace el número ocho de los mismos. Dicho intervalo revela la imposibilidad de poder hacer
coincidir en un mismo valor una serie de quintas justas con otra de octavas, siendo el reseñado,
1,013643, la diferencia entre el armónico 524288, obtenido mediante una sucesión de octavas
justas (2 19 = 524.288), y el 531441, obtenido con una de quintas (3 12 = 531.441).
Las interrelaciones de las líneas armónicas que conforman el sistema dan lugar, como puede
suponerse, a un mayor número de intervalos que en el desarrollo horizontal del triángulo
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armónico, esto es, en la formación de las “escalas naturales” del sistema, se entremezclan con
los físico-armónicos, de esas mismas líneas o de las derivadas. Les llamaremos intervalos
complementarios, siendo su influencia armónica inferior en cualquier proceso musical a la de
los físico-armónicos.
Es de destacar la imposibilidad de que una serie físico-armónica, general o particular, por su
propia ley de formación, contenga armónicos consecutivos cuya distancia interválica esté
comprendida entre el valor de octava y el de quinta justa. Sin embargo, dentro de las “escalas
naturales” que venimos tratando, sí existen sus inversiones, mayores por tanto que el intervalo
de quinta y que podemos considerar como casos particulares de los mismos. Puede hablarse,
entonces, de intervalos físico-armónicos inversos y, por extensión a los complementarios, de
intervalos complementarios inversos.
La totalidad de los intervalos viene así determinada por los dos procesos mencionados: la
interacción de las líneas armónicas y “las escalas naturales” que éstos producen. En este
caso concreto, el sistema pitagórico limitado al armónico 531441, el número de intervalos
distintos asciende a veinticuatro, siendo imposible la existencia de cualquier otro. Puede, por
tanto, establecerse una nueva clasificación interválica, atendiendo a estas características.
Clasificación de los intervalos pitagóricos atendiendo a su proceso de formación
Intervalos físico-armónicos e inversiones Intervalos complementarios e inversiones
Razón Valor Denominación Razón Valor Denominación
1:1 1 Unísono
531441:524288 1,013643 Comma pitagórica
256:243 1,053497 Limma, semitono diatónico
2187:2048 1,067871 Apotomé, semitono cromático
65536:59049 1,109857
9:8 1,125 Tono mayor, 2ª mayor
32:27 1,185185 Semiditono, 3ª menor
19683:16384 1,201354
8192:6561 1,248590
81:64 1,265625 Ditono, 3ª mayor
4:3 1,333333 Diatessaron, 4ª justa
177147:131072 1,351524
1024:729 1,404663
729:512 1,423828
262144:177147 1,479810
3:2 1,5 Diapente, 5ª justa
128:81 1,580246 6ª menor
6561:4096 1,601806
32768:19683 1,664786
27:16 1,6875 6ª mayor
16:9 1,777777 7ª menor
59049:32768 1,802032
4096:2187 1,872885
243:128 1,898437 7ª mayor
2:1 2 Diapasón, 8ª justa
Es importante observar que el intervalo de ditono o tercera mayor pitagórica (81:64 =
1,265625) no pertenece a los físico-armónicos, sino que resulta ser un complementario
derivado de la interrelación de la línea L 81 , con el armónico 64 (2 6 ) de la serie básica, L 1 .
Este rasgo le inhabilita como intervalo armónico siendo, sin embargo, fundamental dentro
de un gran número de escalas, en particular en las pentáfonas y eptáfonas. Su valor es,
también, el equivalente al de dos tonos mayores, (9/8) × (9/8) = 81/64.
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Una de las escalas más utilizadas por los griegos, a la cual Platón hace referencia en su Diálogo
“Timeo”, es la eptáfona siguiente,
primer tetracordo segundo tetracordo
tono (9:8) tono (9:8) limma (256:243) tono (9:8) tono (9:8) tono (9:8) limma (256:243)
3ª mayor (81:64) 3ª mayor (81:64)
3ª mayor (81:64)
similar en estructura, a nuestra escala diatónica de modo mayor, aunque absolutamente distinta
en sus valores interválicos y relaciones armónicas. En ella puede comprobarse la importancia
del intervalo de ditono al encontrase implícito en los dos tetracordos que dan lugar a la
mencionada escala y, también, sirviendo de paso entre ambos al unirse con el intervalo de tono
mayor que los separa. Esto pone de relieve la gran importancia que dicha tercera mayor
poseía dentro de la música griega y en toda la posterior, hasta prácticamente el
Renacimiento, e igualmente da idea de la dificultad, por tratarse de un intervalo
complementario, de poder crear una polifonía más allá de la posible con líneas paralelas
superpuestas de octavas, quintas y cuartas justas, primeros intervalos físico-armónicos de
la serie físico-armónica particular.
Pero hay en el sistema pitagórico otro gran inconveniente cuando se trata de crear verticalidad
en la música y es el relativo a la dispersión armónica que caracteriza a tal sistema según sus
leyes de formación. En un ámbito que va desde el armónico 1 hasta el 524288 se producen
exclusivamente ocho intervalos físico-armónicos y, aunque cuatro de ellos se concentran
dentro del margen de los nueve primeros, siendo tres únicamente los consonantes, la
totalidad de los siete que entran a formar parte del sistema de escalas no lo hacen hasta el
2187, lo que viene a producir una gran dispersión en las afinidades armónicas de la
totalidad del sistema. Además el resto de los intervalos, los complementarios, son fruto, en su
mayor parte, de la relación de líneas armónicas muy superiores con armónicos a octavas muy
por encima del origen, lo que acentúa todavía más la mencionada dispersión y, en consecuencia,
la inarmonía, aunque ésta sea compensada, no obstante, por la corrección sensorial que se
establece entre las relaciones interválicas lejanas y las formadas por otras líneas mucho más
cercanas al origen.
Efectivamente, como se ha comprobado en el capítulo anterior, las relaciones pitagóricas son
sustituidas por otras más próximas, que contribuyen a una mayor unidad del sistema y a un
ligero aumento de sus cualidades armónicas, muy mediatizadas, a pesar de ello, por la extrema
relevancia del intervalo de ditono o tercera mayor pitagórica, omnipresente en sus escalas más
importantes.
Las relaciones sustitutivas de las verdaderas o pitagóricas son, como también quedó
planteado, consecuencia de la interacción de armónicos de la L 5 con otros de la L 1 o de la
L 3 . Esta evidencia, lleva por tanto a cuestionarse la posible existencia de un nuevo sistema
musical armónico, como de segunda generación, en el que la línea L 5 pase a ser
constitutiva del mismo y en igualdad de condiciones junto a las ya contempladas L 1 , L 2 y
L 3 .
Antes de proseguir con la exposición de un nuevo sistema musical de segunda generación, es
oportuno mostrar en una nueva tabla los valores de los intervalos pitagóricos como constitutivos
de una sucesión de quintas consecutivas, así como sus respectivos intervalos inversos. Esta serie
de quintas vendrá definida por todos los valores comprendidos en el intervalo [1,2], obtenidos
mediante la división de los términos de la progresión 3 0, 1, 2, 3,... m y los de la progresión 2 0, 1, 2, 3,... n ,
para valores de m comprendidos entre 0 y 12 y valores de n entre 0 y 20. Su expresión es:
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1 ≤
3 0, 1, 2, 3,... m
≤ 2
2 0, 1, 2, 3,... n
de la que es necesario desechar los valores no comprendidos en el intervalo cerrado marcado.
Los intervalos inversos responden, en consecuencia, a la expresión:
1 ≤
2 0, 1, 2, 3,... n
≤ 2
3 0, 1, 2, 3,... m
La siguiente tabla muestra estos intervalos de acuerdo a lo manifestado:
Intervalos pitagóricos
ordenados por quintas justas
Términos Razón Valor
3 12 :2 19 531441:524288 1,013643
3 11 :2 17 177147:131072 1,351524
3 10 :2 15 59049:32768 1,802032
3 9 :2 14 19683:16384 1,201354
3 8 :2 12 6561:4096 1,601806
3 7 :2 11 2187:2048 1,067871
3 6 :2 9 729:512 1,423828
3 5 :2 7 243:128 1,898437
3 4 :2 6 81:64 1,265625
3 3 :2 4 27:16 1,6875
3 2 :2 3 9:8 1,125
3 1 :2 1 3:2 1,5
3 0 :2 0 1:1 1
2 1 :3 0 2:1 2
2 2 :3 1 4:3 1,333333
2 4 :3 2 16:9 1,777777
2 5 :3 3 32:27 1,185185
2 7 :3 4 128:81 1,580246
2 8 :3 5 256:243 1,053497
2 10 :3 6 1024:729 1,404663
2 12 :3 7 4096:2187 1,872885
2 13 :3 8 8192:6561 1,248590
2 15 :3 9 32768:19683 1,664786
2 16 :3 10 65536:59049 1,109857
2 18 :3 11 262144:177147 1,479810
2 20 :3 12 1048576:531441 1,973080
La tabla anterior, en la que se representan los intervalos pitagóricos en orden de quintas
ascendentes y descendentes, tendrá próximamente una amplia aplicación en el estudio de
nuevos sistemas musicales armónicos y en su esquematización, por lo que, tal como aparece,
puede ser considerada como el núcleo central de otras nuevas, que se obtendrán mediante
determinadas y precisas agregaciones, y que contendrán intervalos de distinto valor y naturaleza
sonora.
Pero esos mismos intervalos pitagóricos, considerados como el núcleo central del crecimiento
de otros sistemas, se encontrarán también organizados mediante parejas de quintas y cuartas
consecutivas, o lo que es lo mismo, cada intervalo físico-armónico o complementario irá
inmediatamente seguido de su correspondiente inversión. El resultado de esta organización es la
tabla siguiente, que será utilizada como una ayuda para aclarar determinadas e importantes
cuestiones que irán surgiendo.
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Intervalos pitagóricos ordenados
por parejas de 5 as y 4 as consecutivas
Términos Razón Valor
3 0 :2 0 1:1 1
2 1 :3 0 2:1 2
3 1 :2 1 3:2 1,5
2 2 :3 1 4:3 1,333333
3 2 :2 3 9:8 1,125
2 4 :3 2 16:9 1,777777
3 3 :2 4 27:16 1,6875
2 5 :3 3 32:27 1,185185
3 4 :2 6 81:64 1,265625
2 7 :3 4 128:81 1,580246
3 5 :2 7 243:128 1,898437
2 8 :3 5 256:243 1,053497
3 6 :2 9 729:512 1,423828
2 10 :3 6 1024:729 1,404663
3 7 :2 11 2187:2048 1,067871
2 12 :3 7 4096:2187 1,872885
3 8 :2 12 6561:4096 1,601806
2 13 :3 8 8192:6561 1,248590
3 9 :2 14 19683:16384 1,201354
2 15 :3 9 32768:19683 1,664786
3 10 :2 15 59049:32768 1,802032
2 16 :3 10 65536:59049 1,109857
3 11 :2 17 177147:131072 1,351524
2 18 :3 11 262144:177147 1,479810
3 12 :2 19 531441:524288 1,013643
2 20 :3 12 1048576:531441 1,973080
4.2.- La formación de un nuevo sistema musical armónico.- El nuevo sistema que se
pretende crear, a través de las reglas impuestas por la generación de series físico-armónicas
relacionadas entre sí, cuyas propiedades quedan reflejadas gráficamente en el triángulo
armónico, va a estar formado, según se ha avanzado ya, por las líneas L 1 , L 2 , L 3 , L 4 y L 5 . La
línea L 4 quedará, en cualquier caso, implícita dentro del desarrollo de la L 2 por tratarse de una
línea par derivada de ésta. Recapitulando del sistema anterior se sabe que:
- De la interacción de las líneas L 1 y L 2, o progresión 2 0, 1, 2, 3,... n , se obtienen los términos 1, 2,
4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024,..., cuyo significado musical se corresponde con una
serie de octavas sucesivas (intervalo 2:1 = 2), cuyo origen es la unidad.
- De la interacción de las líneas L 1 y L 3 , o progresión 3 0, 1, 2, 3,... m , se desprenden los términos
1, 3, 9, 27, 81, 243, 729,..., cuyo significado musical se corresponde con una serie de
quintas justas sucesivas (intervalo 3:2 = 1,5), con origen, igualmente, en la unidad.
- Las líneas L 2 y L 3 también interrelacionan entre sí, lo que da lugar a considerar nuevos
armónicos dentro del sistema. La L 2 está formada, como ya se vio, por los términos 2, 4, 6,
8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22,..., y la L 3 por 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33,... Quitando
todos aquellos pertenecientes a líneas excluidas, los valores que obtendremos finalmente,
para todo el sistema, obedecen a la fórmula: T n, m = 2 0, 1, 2, 3,... n · 3 0, 1, 2, 3,... m , donde T n, m
representa a cada uno de los términos obtenidos mediante la multiplicación de cualquiera de
los términos de la línea L 2 con otro cualquiera de la L 3 .