Joachim Mohr   Mathematik Musik Delphi

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Capítulo IV. Sistemas musicales armónicos de segunda generación

4.1.- Dispersión armónica en el sistema pitagórico.- Antes de comenzar a realizar el estudio

de algún nuevo sistema musical armónico, siguiendo los mismos criterios establecidos desde un

principio, quizá resulte prudente realizar una recapitulación sobre las características inherentes

al sistema formado por las líneas armónicas L 1 , L 2 y L 3 , exactamente igual al sistema

pitagórico, con el objeto de que sirva de recordatorio en el momento de abordar esos posibles

sistemas sucesivos.

La criba de armónicos, realizada al suprimir todos aquellos pertenecientes a otras líneas no

contempladas dentro del sistema, produce una primera serie físico-armónica particular o serie

básica que, hasta el armónico 2187, queda estructurada del modo siguiente:

Serie físico-armónica particular del sistema pitagórico

1  2 2  1,5 3  1,333333 4  1,5 6  1,333333 8  1,125 9  1,333333 12  1,333333 16  1,125 18  1,333333 24  1,125 27  1,185185 32  1,125

36  1,333333 48  1,125 54  1,185185 64  1,125 72  1,125 81  1,185185 96  1,125 108  1,185185 128  1,125 144  1,125 162  1,185185

192  1,125 216  1,125 243  1,053497 256  1,125 288  1,125 324  1,185185 384  1,125 432  1,125 486  1,053497 512  1,125

576  1,125 648  1,125 729  1,053497 768  1,125 864  1,125 972  1,053497 1024  1,125 1152  1,125 1296  1,125 1458  1,053497

1536  1,125 1728  1,125 1944  1,053497 2048  1,067871 2187...

Se puede apreciar en ese desarrollo que la serie básica está compuesta exclusivamente por siete

intervalos: 2, 1,5, 1,333333, 1,125, 1,185185, 1,053497 y 1,067871, de los cuales hay tres que

tienen una aparición inmediata y consecutiva, precisamente los llamados “consonantes”,

mientras que el resto lo hace cada vez más escalonadamente. Estos siete intervalos son los

clasificados como “físico-armónicos”, pues aparecen espontáneamente en la serie básica cribada

y por tanto son los que rigen el sistema en su conjunto. También puede comprobarse que los

primeros, pilares armónicos en cualquier sistema, desaparecen de la serie de inmediato mientras

los restantes se reiteran bastantes veces más durante el proceso de desarrollo.

Es necesario recordar que a partir de cada uno de los armónicos de la serie básica se forma una

nueva serie físico-armónica particular que se rige por la misma interválica que la primera, por lo

que todo el proceso, en su conjunto, adquiere inequívocamente dimensiones fractales en su

complejo entramado. Como ejemplo, el inicio de la serie físico-armónica del tercer armónico

sería, pues, el siguiente:

Serie físico-armónica particular del tercer armónico

3  2 6  1,5 9  1,333333 12  1,5 18  1,333333 24  1,125 27  1,333333 36  1,333333 48  1,125 54  1,333333 72  1,125 81  1,185185 96...

La secuencia anterior revela claramente la igualdad del proceso en la formación de intervalos

físico-armónicos de ambas series y, en consecuencia, de todas.

El último intervalo físico-armónico considerado en la integridad del sistema es el determinado

por los armónicos 524288 y 531441, cuyo valor es 1,013643, denominado comma pitagórica y

hace el número ocho de los mismos. Dicho intervalo revela la imposibilidad de poder hacer

coincidir en un mismo valor una serie de quintas justas con otra de octavas, siendo el reseñado,

1,013643, la diferencia entre el armónico 524288, obtenido mediante una sucesión de octavas

justas (2 19 = 524.288), y el 531441, obtenido con una de quintas (3 12 = 531.441).

Las interrelaciones de las líneas armónicas que conforman el sistema dan lugar, como puede

suponerse, a un mayor número de intervalos que en el desarrollo horizontal del triángulo

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armónico, esto es, en la formación de las “escalas naturales” del sistema, se entremezclan con

los físico-armónicos, de esas mismas líneas o de las derivadas. Les llamaremos intervalos

complementarios, siendo su influencia armónica inferior en cualquier proceso musical a la de

los físico-armónicos.

Es de destacar la imposibilidad de que una serie físico-armónica, general o particular, por su

propia ley de formación, contenga armónicos consecutivos cuya distancia interválica esté

comprendida entre el valor de octava y el de quinta justa. Sin embargo, dentro de las “escalas

naturales” que venimos tratando, sí existen sus inversiones, mayores por tanto que el intervalo

de quinta y que podemos considerar como casos particulares de los mismos. Puede hablarse,

entonces, de intervalos físico-armónicos inversos y, por extensión a los complementarios, de

intervalos complementarios inversos.

La totalidad de los intervalos viene así determinada por los dos procesos mencionados: la

interacción de las líneas armónicas y “las escalas naturales” que éstos producen. En este

caso concreto, el sistema pitagórico limitado al armónico 531441, el número de intervalos

distintos asciende a veinticuatro, siendo imposible la existencia de cualquier otro. Puede, por

tanto, establecerse una nueva clasificación interválica, atendiendo a estas características.

Clasificación de los intervalos pitagóricos atendiendo a su proceso de formación

Intervalos físico-armónicos e inversiones  Intervalos complementarios e inversiones

Razón  Valor  Denominación  Razón  Valor  Denominación

1:1  1  Unísono 

531441:524288 1,013643  Comma pitagórica

256:243  1,053497  Limma, semitono diatónico

2187:2048  1,067871  Apotomé, semitono cromático

65536:59049  1,109857 

9:8  1,125  Tono mayor, 2ª mayor 

32:27  1,185185  Semiditono, 3ª menor

19683:16384  1,201354 

8192:6561  1,248590 

81:64  1,265625  Ditono, 3ª mayor

4:3  1,333333  Diatessaron, 4ª justa 

177147:131072 1,351524 

1024:729  1,404663 

729:512  1,423828 

262144:177147 1,479810 

3:2  1,5  Diapente, 5ª justa 

128:81  1,580246  6ª menor

6561:4096  1,601806 

32768:19683  1,664786 

27:16  1,6875  6ª mayor 

16:9  1,777777  7ª menor

59049:32768  1,802032 

4096:2187  1,872885 

243:128  1,898437  7ª mayor

2:1  2  Diapasón, 8ª justa

Es importante observar que el intervalo de ditono o tercera mayor pitagórica (81:64 =

1,265625) no pertenece a los físico-armónicos, sino que resulta ser un complementario

derivado de la interrelación de la línea L 81 , con el armónico 64 (2 6 ) de la serie básica, L 1 .

Este rasgo le inhabilita como intervalo armónico siendo, sin embargo, fundamental dentro

de un gran número de escalas, en particular en las pentáfonas y eptáfonas. Su valor es,

también, el equivalente al de dos tonos mayores, (9/8) × (9/8) = 81/64.

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Una de las escalas más utilizadas por los griegos, a la cual Platón hace referencia en su Diálogo

“Timeo”, es la eptáfona siguiente,

primer tetracordo segundo tetracordo

tono (9:8) tono (9:8) limma (256:243) tono (9:8) tono (9:8) tono (9:8) limma (256:243)

3ª mayor (81:64) 3ª mayor (81:64)

3ª mayor (81:64)

similar en estructura, a nuestra escala diatónica de modo mayor, aunque absolutamente distinta

en sus valores interválicos y relaciones armónicas. En ella puede comprobarse la importancia

del intervalo de ditono al encontrase implícito en los dos tetracordos que dan lugar a la

mencionada escala y, también, sirviendo de paso entre ambos al unirse con el intervalo de tono

mayor que los separa. Esto pone de relieve la gran importancia que dicha tercera mayor

poseía dentro de la música griega y en toda la posterior, hasta prácticamente el

Renacimiento, e igualmente da idea de la dificultad, por tratarse de un intervalo

complementario, de poder crear una polifonía más allá de la posible con líneas paralelas

superpuestas de octavas, quintas y cuartas justas, primeros intervalos físico-armónicos de

la serie físico-armónica particular.

Pero hay en el sistema pitagórico otro gran inconveniente cuando se trata de crear verticalidad

en la música y es el relativo a la dispersión armónica que caracteriza a tal sistema según sus

leyes de formación. En un ámbito que va desde el armónico 1 hasta el 524288 se producen

exclusivamente ocho intervalos físico-armónicos y, aunque cuatro de ellos se concentran

dentro del margen de los nueve primeros, siendo tres únicamente los consonantes, la

totalidad de los siete que entran a formar parte del sistema de escalas no lo hacen hasta el

2187, lo que viene a producir una gran dispersión en las afinidades armónicas de la

totalidad del sistema. Además el resto de los intervalos, los complementarios, son fruto, en su

mayor parte, de la relación de líneas armónicas muy superiores con armónicos a octavas muy

por encima del origen, lo que acentúa todavía más la mencionada dispersión y, en consecuencia,

la inarmonía, aunque ésta sea compensada, no obstante, por la corrección sensorial que se

establece entre las relaciones interválicas lejanas y las formadas por otras líneas mucho más

cercanas al origen.

Efectivamente, como se ha comprobado en el capítulo anterior, las relaciones pitagóricas son

sustituidas por otras más próximas, que contribuyen a una mayor unidad del sistema y a un

ligero aumento de sus cualidades armónicas, muy mediatizadas, a pesar de ello, por la extrema

relevancia del intervalo de ditono o tercera mayor pitagórica, omnipresente en sus escalas más

importantes.

Las relaciones sustitutivas de las verdaderas o pitagóricas son, como también quedó

planteado, consecuencia de la interacción de armónicos de la L 5 con otros de la L 1 o de la

L 3 . Esta evidencia, lleva por tanto a cuestionarse la posible existencia de un nuevo sistema

musical armónico, como de segunda generación, en el que la línea L 5 pase a ser

constitutiva del mismo y en igualdad de condiciones junto a las ya contempladas L 1 , L 2 y

L 3 .

Antes de proseguir con la exposición de un nuevo sistema musical de segunda generación, es

oportuno mostrar en una nueva tabla los valores de los intervalos pitagóricos como constitutivos

de una sucesión de quintas consecutivas, así como sus respectivos intervalos inversos. Esta serie

de quintas vendrá definida por todos los valores comprendidos en el intervalo [1,2], obtenidos

mediante la división de los términos de la progresión 3 0, 1, 2, 3,... m y los de la progresión 2 0, 1, 2, 3,... n ,

para valores de m comprendidos entre 0 y 12 y valores de n entre 0 y 20. Su expresión es:

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1 ≤

3 0, 1, 2, 3,... m

≤ 2

2 0, 1, 2, 3,... n

de la que es necesario desechar los valores no comprendidos en el intervalo cerrado marcado.

Los intervalos inversos responden, en consecuencia, a la expresión:

1 ≤

2 0, 1, 2, 3,... n

≤ 2

3 0, 1, 2, 3,... m

La siguiente tabla muestra estos intervalos de acuerdo a lo manifestado:

Intervalos pitagóricos

ordenados por quintas justas

Términos  Razón  Valor

3 12 :2 19 531441:524288  1,013643

3 11 :2 17 177147:131072  1,351524

3 10 :2 15 59049:32768  1,802032

3 9 :2 14 19683:16384  1,201354

3 8 :2 12 6561:4096  1,601806

3 7 :2 11 2187:2048  1,067871

3 6 :2 9 729:512  1,423828

3 5 :2 7 243:128  1,898437

3 4 :2 6 81:64  1,265625

3 3 :2 4 27:16  1,6875

3 2 :2 3 9:8  1,125

3 1 :2 1 3:2  1,5

3 0 :2 0  1:1  1

2 1 :3 0  2:1  2

2 2 :3 1  4:3  1,333333

2 4 :3 2 16:9  1,777777

2 5 :3 3 32:27  1,185185

2 7 :3 4 128:81  1,580246

2 8 :3 5 256:243  1,053497

2 10 :3 6 1024:729  1,404663

2 12 :3 7 4096:2187  1,872885

2 13 :3 8 8192:6561  1,248590

2 15 :3 9 32768:19683  1,664786

2 16 :3 10 65536:59049  1,109857

2 18 :3 11 262144:177147  1,479810

2 20 :3 12 1048576:531441 1,973080

La tabla anterior, en la que se representan los intervalos pitagóricos en orden de quintas

ascendentes y descendentes, tendrá próximamente una amplia aplicación en el estudio de

nuevos sistemas musicales armónicos y en su esquematización, por lo que, tal como aparece,

puede ser considerada como el núcleo central de otras nuevas, que se obtendrán mediante

determinadas y precisas agregaciones, y que contendrán intervalos de distinto valor y naturaleza

sonora.

Pero esos mismos intervalos pitagóricos, considerados como el núcleo central del crecimiento

de otros sistemas, se encontrarán también organizados mediante parejas de quintas y cuartas

consecutivas, o lo que es lo mismo, cada intervalo físico-armónico o complementario irá

inmediatamente seguido de su correspondiente inversión. El resultado de esta organización es la

tabla siguiente, que será utilizada como una ayuda para aclarar determinadas e importantes

cuestiones que irán surgiendo.

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Intervalos pitagóricos ordenados

por parejas de 5 as y 4 as consecutivas

Términos  Razón  Valor

3 0 :2 0  1:1  1

2 1 :3 0  2:1  2

3 1 :2 1  3:2  1,5

2 2 :3 1  4:3  1,333333

3 2 :2 3  9:8  1,125

2 4 :3 2  16:9  1,777777

3 3 :2 4  27:16  1,6875

2 5 :3 3  32:27  1,185185

3 4 :2 6  81:64  1,265625

2 7 :3 4  128:81  1,580246

3 5 :2 7  243:128  1,898437

2 8 :3 5  256:243  1,053497

3 6 :2 9  729:512  1,423828

2 10 :3 6  1024:729  1,404663

3 7 :2 11  2187:2048  1,067871

2 12 :3 7  4096:2187  1,872885

3 8 :2 12  6561:4096  1,601806

2 13 :3 8  8192:6561  1,248590

3 9 :2 14  19683:16384  1,201354

2 15 :3 9  32768:19683  1,664786

3 10 :2 15  59049:32768  1,802032

2 16 :3 10  65536:59049  1,109857

3 11 :2 17  177147:131072 1,351524

2 18 :3 11  262144:177147 1,479810

3 12 :2 19  531441:524288 1,013643

2 20 :3 12 1048576:531441 1,973080

4.2.- La formación de un nuevo sistema musical armónico.- El nuevo sistema que se

pretende crear, a través de las reglas impuestas por la generación de series físico-armónicas

relacionadas entre sí, cuyas propiedades quedan reflejadas gráficamente en el triángulo

armónico, va a estar formado, según se ha avanzado ya, por las líneas L 1 , L 2 , L 3 , L 4 y L 5 . La

línea L 4 quedará, en cualquier caso, implícita dentro del desarrollo de la L 2 por tratarse de una

línea par derivada de ésta. Recapitulando del sistema anterior se sabe que:

-  De la interacción de las líneas L 1 y L 2, o progresión 2 0, 1, 2, 3,... n , se obtienen los términos 1, 2,

4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024,..., cuyo significado musical se corresponde con una

serie de octavas sucesivas (intervalo 2:1 = 2), cuyo origen es la unidad.

-  De la interacción de las líneas L 1  y L 3 , o progresión 3 0, 1, 2, 3,... m , se desprenden los términos

1, 3, 9, 27, 81, 243, 729,..., cuyo significado musical se corresponde con una serie de

quintas justas sucesivas (intervalo 3:2 = 1,5), con origen, igualmente, en la unidad.

-  Las líneas L 2  y L 3  también interrelacionan entre sí, lo que da lugar a considerar nuevos

armónicos dentro del sistema. La L 2 está formada, como ya se vio, por los términos 2, 4, 6,

8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22,..., y la L 3 por 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33,... Quitando

todos aquellos pertenecientes a líneas excluidas, los valores que obtendremos finalmente,

para todo el sistema, obedecen a la fórmula: T n, m  = 2 0, 1, 2, 3,... n  · 3 0, 1, 2, 3,... m , donde T n, m

representa a cada uno de los términos obtenidos mediante la multiplicación de cualquiera de

los términos de la línea L 2 con otro cualquiera de la L 3 .