Joachim Mohr Mathematik Musik Delphi

Abitursaufgabe 1

Elektronenbahn im Plattenkondensator

Aus einer Elektronenquelle treten die Elektronen mit einer Geschwindigkeit v_o senkrecht in das homogene elektrische Feld eines Plattenkondensators der Breite 8,0 cm der Länge 10,0 cm ein.
An den Plattenkondensator wird eine Spannung von 1,2 kV angelegt.

• Leiten Sie eine allgemeine Gleichung für die Elektronenbahn im Feld her.
• Bei welchen Eintrittsgeschwindigkeiten treffen die Elektronen auf die obere Kondensatorplatte?

Lösung:

Gleichung der Elektronenenbahn

Im rechtwinkligen Koordinatensystem (Ursprung: Eintrittsstelle der Elektronen. x-Achse nach rechts, y-Achse nach oben
In x-Richtung hat man eine gleichförmige Bewegung.
In y-Richtung wirkt eine Kraft im Elektrischen Feld. Also eine gleichförmig beschleunigte Bewegung.
Also:

 
x(t)=v *t 
      0
     
     1   2
y(t)=—a*t , wobei a die vom elektrischen Feld verursachte Beschleunigung ist.
     2 

            x
Setzt man t=—— in y ein erhält man:
            v 
             0

             2
  1  x  2 1 x 
y=—a(——) =—a———
  2  v    2   2
      0     v 
             0

Die Beschleunigung a wird durch die Kraft F=m*a=e*E der elektrische Feldstärke E=^U_y/_d erzeugt
⇒a=^e*U_y/_m*d und damit

 
               
  1   2 1 eUy x²  1  eUy     2
y=—a*t =—*———*———=—*———————*x . Mit den konkreten Werten erhält man die Parabelgleichung.
  2     2 md  v₀² 2 m*d*v₀²

         15 m  x² 
y=1,32*10   ——*——
            s2 v₀²

Eintrittsgeschwindigkeit:
Die Frage ist: Wann ist y=4cm bei x=10cm?
Lösung:

 

             15 m  x² 
Aus y=1,32*10   ——*—— folgt 
                s2 v₀²

         7 m
v =1,8*10  —. Bei größerer Geschwindigkeit treffen die Elektronen nicht mehr die Kondensatorplatte.
 0         s

Nächste Frage: Zwischen den Kondensatorplatten soll dem elektrischen Feld ein homogenes Magnetield so überlagert werden, dass die Elektronen der Geschwindigkeit 1,8*10⁷^m/_s die Anordnung unabgelenkt durchfliegen.
• Wie muss das Magnetfeld orientiert sein?
• Zeigen Sie, dass der Betrag der magnetischen Flussdichte 0,83 mT sein muss.
• Erklären Sie, in welche Richtung Elektronen mit einer kleineren Geschwindigkeit unmittelbar nach dem Einschuss in den Feldbereich abgelenkt werden.

Lösung: Die Elektronen bewegen sich nach rechts, das elektrische Feld zwischen den Kondensatorplatten bewirkt eine Kraft nach unten. Dann muss die magnetische Kraft nach oben wirken, also das Magnetfeld senkrecht zur Zeichenebene nach hinten gerichtet sein.
Die Magnetische Kraft F_magn muss gleich der elektrischen Kraft F_el sein, also B*e*V=e*E ⇒B=^E/_v=^U/_d*v=0,83mT.
Da die Kraft auf die Elektronen im elektrischen Feld unabhängig von der Geschwindikeit ist, wohl aber im magnetischen Feld, werden sie bei kleinerer Geschwindigkeit nach oben abgelenkt.

Letzte Frage: Nun wird die Ablenkspannung ausgeschaltet, sodass nur noch das magnetische Feld vorhanden ist.
• Welche Eintrittsgeschwindigkeiten müssen Elektronen haben, um den Feldbereich wieder verlassen zu können, ohne auf eine Kondensatorplatte zu treffen?

Lösung: Eintrittsgeschwindigkeit ohne Ablenkung durch den Kondensator.
Dann wirkt die Lorentzkraft B*e*v als Zentripedalgraft ^m*v2/_r, also v=^B*e*r/_m.
Das Elektron wird auf eine Kreisbahn mit Radius r abgelenkt. Ist r‹2, so verbleiben die Elektronen in einer Kreisbahn innerhalb des Kondensators. Das ist der Fall, wenn v‹^B*e*0,02m/_m=2900^km/_s.
Ist der Radius r zu groß, dann folgt aus (r-4cm)²+10cm²=r² also r›14,5cm.
Die zugehörige Geschwindigkeit errechnet sich zu v›^B*e*r/_m=21 000^km/_s.