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Entnommen dem Abschnitt Die gute Imtonation
Einfach genial: Die Mercatorrechnungen sind viel einfacher und doch genau genug.
Allerdings: Das pythagoreische Komma ist ein Cent (eine Winzigkeit) größer als k und das syntonische Komma ein Cent tiefer als k.Genauigkeit der Mercator-Rechnung
Die heutigen Musiktheoretiker rechnen mit Frequenzverhältnissen, Logarithmen und der Einheit Cent. Das macht den Vergleich von Intervallen unanschaulich. Auch Werte in Cent kann man sich schlecht merken.Beispiel (lb=Logarithmus zur Basis 2; Oktave = 1200 Cent):
| Intervall | Größe nach Mercator | Größe in Cent |
|---|---|---|
| reine große Terz | 17k | 1200•lb(5/4)=386 Cent |
| pythagoreische Terz | 18k | 1200•lb(81/64)=408 Cent |
Viel anschaulicher und einprägsamer ist die Größenangabe von Intervallen als Vielfache des Mercatorkommas k.
Hier müssen wir Rechnungen durchführen, die bei der Mercatorechnung vermeidbar sind.
Rechnet man mit Frequenzverhältnissen und den logarithmischen Größenangaben in Cent (Oktave = 1200 Cent, Halbton=100 Cent, lb: Der Logarithmus zur Basis 2), so erhält man:
pythagoreisches Komma=12Quinten-7Oktaven ⇒ Frequenzverhältnis=(3/2)12:27=531441/524288, ⇒ pythagoreisches Komma =1200*lb(531441/524288)Cent=23,5 Cent.
syntonisches Komma=4 Quinten-2Oktaven-reine Terz. Frequenzverhältnis=(3/2)4:22:(5/4)=81/80 ⇒ syntonisches Komma=1200*lb(81/80)=21,5 Cent.
Das Mercatorkomma mit k=1200:53 Cent= 22,6 Cent liegt dazwischen.
Die Mercatorrechnung, die die komplizierten Rechnungen mit dem Frequenzverhältnissen und Logarithmen vermeidet, ist also nicht ganz genau, seine Größenangaben der Intervalle sind aber mehr als ausreichend. Der Unterschied von 1 Cent ist vernachlässigbar. Und der große Vorteil der Mercatorrechnung ist: Ohne Logarithmen wird ihre Größe angegeben und man kann sie addieren.
Für Mathematiker:
Die reine Terz nach mercator: c-,e=9k+8k=17k=17 •1200/53Cent=385 Cent.
Der exakte Wert ist 1200 •lb(5/4)Cent=386 Cent.
Die reine Quinte nach Mercator: c-g=9k+8k+5k+9k=31k=31 •1200/53Cent=702Cent.
Der exakte Wert ist 1200 •lb(3/2)=702Cent. Hier noch weitere Werte:
| Intervall | Größe (nach Mercator) | In Cent | Frequenzverhältnis | exakter Wert in Cent |
|---|---|---|---|---|
| diatonischer Halbton | 5k | 113 | 15/16 | 112 |
| Kleiner Ganzton | 8k | 181 | 10/9 | 182 |
| Großer Ganzton | 9k | 204 | 9/8 | 204 |
| Kleine Terz | 14k | 317 | 6/5 | 316 |
| Große Terz | 17k | 385 | 5/4 | 386 |
| Quarte | 22k | 498 | 4/3 | 498 |
| Tritonus | 26k | 589 | 45/32 | 590 |
| Quinte | 31k | 702 | 3/2 | 702 |