Mathematische Beschreibung von Tonsystemen

Tonsysteme

Im folgenden werden wir 1. das gleichschwebende, 2. das Quintsystem und 3. das der reinen Stimmung mit einem Anhang über mitteltönige Stimmungen als "Tonräume" beschreiben.

In allen Erweiterungen verwenden wir das Oktavaxiom (ein "Reichhaltigkeitsaxiom": Neben dem Nullintervall soll noch ein zweites existieren.)

(Mathematisch ist jedes beliebige Intervall geeignet. Ich kenne keine Eigenschaft in diesem System, das die Oktav auszeichnen würde. Man muss also zum Beispiel die Seite eines Monocords halbieren, um den Höreindruck einer Oktav zu erzeugen.)

Weitere Intervalle können mit der Oktavaxiom verglichen werden. Zum Beispiel: Ein bestimmtes Intervall i (denken Sie an die "Quinte") ist kleiner als die Oktav, aber das zweifache Intervall 2·i=i+i ist größer als die Oktav.

Dieses System ist mathematisch sehr einfach. Vom Hören kann man es jedoch nicht erschließen, wenn wir nicht Tongenerator und Logarithmentafel oder ähnliches zu Hilfe nehmen.

Somit ist der Intervallraum mit Z= Menge der ganzen Zahlen darstellbar als I= Z·H={z·H| z ε Z} Wählt man willkürlich einen Ton c ε T, dann ist T=c+ Z·H={c+z·H|z ε Z}

Vom Geigen- oder Trompetenspiel u.s.w her gesehen ist die gleichmäßige Einteilung der Oktave in zwölf gleiche Intervalle jedoch alles andere als trivial ... es ist ein Artefakt.

Vereinfachen wir das Problem und versuchen wir, die Oktave in zwei gleiche Intervalle aufzuteilen.

Gesucht: Intervall i mit 2·i = Ok.

Ein an die gleichschwebenden Stimmung gewöhnte Musiker würde sagen:
C - Fis halbiert die Oktave.

Gehen wir einmal davon aus, dass ein Musiker die reine Oktave, die reine Quint, die reine Terz und alle Intervalle die sich daraus kombinieren lassen, exakt intonieren kann. (siehe das nächste Tonsystem). Dass dies ein guter Sänger, Violinist, Trompeter u. s. w. kann, wird wohl niemand ernsthaft bestreiten.
Wie ist aber C - Fis zu intonieren?

Ich behaupte deshalb: Der zwölfstufige Tonraum ist allein vom Hören her nicht zu begründen.

Wer das Gegenteil behauptet, müßte den exakten Halbton mit Musikinstrumenten ohne Berechnung der 12. Wurzel von 2 so intonieren können wie eine Oktave, eine Quint oder eine Terz. (Die mit Hilfe der Obertonreihe einfach zu finden sind.)

Die gleichstufige Stimmung ist nur eine bequeme Möglichkeit, Tasteninstrumente in allen Tonarten spielbar zu machen. Erst nach der zerfallenden Harmonik der Spätromantik betrachtete man den zwölfstufigen Tonraum als eigenständig.

Historisch gesehen war es ein großes Problem, ohne Stimmgeräten und Frequenzmessern, die erst im 20. Jahrhundert verfügbar waren, Instrumente gleichstufig zu stimmen. Neben dem Gehör wurde etwa das Metronom verwendet, um die Frequenz der Schwebungen zu bestimmen

Die wohltemperierten Stimmungen kamen der gleichstufigen Stimmung mehr oder weniger nah, behielten aber stets noch eine "Tonartencharakteristik".

Andreas Werckmeister (1645-1706), ein Zeitgenosse Buxtehudes und Bachs, preist die Vorzüge solcher Stimmungen mit Vorbehalt: Die Menschen würden "jubiliren" "wenn ... ein accurates Ohr dieselbe auch ... zu stimmen weiss".

Johann Sebastian Bach stimme sein Clavichord immer selbst und benötigte dafür nie mehr als eine Viertelstunde. Es ist anzunehmen, dass er sie nicht gleichstufig stimmte. Aber seine "wohl temperierte" Stimmung wird sein Geheimnis bleiben. (Quelle Balint Dobozi ).

2. Das Quintsystem

Sie alle kennen musikalisch die Quinte. Sie werde mit Q bezeichnet.

Im diesem Abschnitt überlegen wir uns. Wie können wir einen kleinsten Tonraum darstellen, der durch die Oktave und die Quinte bestimmt ist?

Wir definieren das Quintsystem folgendermaßen:

In der frühen Zweistimmigkeit und den Anfängen der Mehrstimmigkeit ist diese Intonation denkbar.
Quinten klingen in dieser Intonation rein. Mir ist aufgefallen, dass auch die Diskantklausel mit dem pythagoreischen Ganzton in dieser Tonleiter einen besonders guten Klang hat (Mit dem kleinen Ganzton - siehe unten- klänge sie fade).

In der Einstimmigkeit hat die pythagoreische Tonleiter eine gewisse Berechtigung. Die Terz klingt dissonant (scharf). Bei Tastenistrumente, die bis 1550 so gestimmt wurden, wurde klar, dass bei der Mehrstimmigkeiten Unreinheiten auftraten. Dem begegnete man dadurch, dass man sie nach mitteltönigen Temperaturen stimmte. Eine reine Stimmung der Tasteninstrumente für alle Tonarten war bei einer Beschränkung auf 12 Tasten pro Oktave unmöglich.

TA   D    Akkord   In Cent
c         ce        386,3
c         ce+       407,8
~         ce        400

Auszug: Brief Guidos an den Mönch Michael

• A:₁G = Ganzton = 9:8 [₁G: eine Oktave tiefer wie G]
• H:A = Ganzton = 9:8 [Im deutschen Sprachraum wird "H" statt "B" geschrieben.]
• c:₁G = Quarte = 4:3
• D:A = Quarte = 4:3

  Man erhält nun die Tonfolge: G (Ganzton) A (Ganzton) H (Halbton) C (Ganzton) D
  
  

  Der Halbton hier als Differenz Quarte-2Ganztöne hat als Frequenzverhältnis 4:3/(9/8)^2 = 256/243, entspricht 90 Cent. Dieser pythagoreische Halbton wird auch "Leimma" genannt.

• E:A = D:G = 3Ganztöne + Halbton = Ganzton + Quarte = Quinte = 3:2
• F:H = Quinte = 3:3
• G:₁G = a:a = h:H = c:C = ... = Oktave = 2:1

Auf diese Weise erhält man die Tonfolge:



A

H

C

D

E

F

G

a

Ganz­ton

Lei­mma

Ganz­ton

Ganz­ton

Halb­ton

Ganz­ton

Ganz­ton

3. Das Quint-Terz-System
(Die reine Stimmung)

Dieses System wird durch drei Basisvektoren Ok,Q und gT (Ok,Q,gT) bestimmt (Im Vorgriff: In Klammer die Frequenzverhältnisse).

(1) Die Oktav, geschrieben als Vektor  Ok= [ 1 0 0] (2/1)
(2) Die Quint, geschrieben             Q = [ 0 1 0] (3/2)
(3) Die große Terz, geschrieben       gT = [ 0 0 1] (5/4)

Hörpsychologisch beschreibe ich die "reine Stimmung" durch folgende Axiome.

Axiom: Keines der Grundintervalle lässt sich als Linearkombination der übrigen beiden darstellen.
Axiom: Jedes Intervall lässt sich als Summe oder Differenz dieser Grundintervalle schreiben.
Vektorschreibweise: i=[ x y z ]=x·Ok + y·Q + z·gT
x,y,z ganze Zahlen (auch negative)
[x y z] werde der Oktav-Quint-Terz-Vektor genant.
Die Basisintervalle können ersetzt werden durch folgende drei Basisintervalle.
(1) Großer Ganzton G, geschrieben als Vektor (100)=[-1 2 0] (9/8)
(2) kleiner Ganzton G-, geschrieben (010)=[ 1 -2 1] (10/9)
(3) Halbton H, geschrieben (001)=[ 1 -1 -1] (16/15)
Umrechnung: Oktav Ok= (322)
Quint Q = (211)
Terz gT = (110)
Oder durch folgende drei Basisintervalle (Halbtöne + Korrektur)
(1) Halbton H H={100}=(001)=[1 -1 -1] (16/15)
(2) synt. Komma K={010}=(1 -1 0)=[-2 4 -1] (81/80) (Im Vorgriff: 21,51 Cent)
(3) 2H-G k={001}=(-1 0 2)=[3 -4 -2] (2048/2025)
Rechenbeispiel: Wie setzt sich die kleine Sext c-as aus Oktaven, Quinten und Terzen zusammen?
c-d-e-f-g-as: G + (G-) + H + G + H
Als (G,G-,H)-Vektor = (Anzahl von G und G- und H) geschrieben: c-as = (2 1 2)
"Zwei große Ganztöne, ein kleiner Ganzton und zwei Halbtöne".
Vektorrechnung:
(2 1 2) = 2·(1 0 0) + (0 1 0) + 2·(0 0 1)
= 2·[-1 2 0] + [1 -2 1] + 2·[1 -1 -1]
=[1 0 -1] = "Eine Oktav - eine große Terz"
c-as ist ein Intervall, das 8 Halbtöne umfasst (c-des-d-es-e-f-fis-g-as).
Genaugenommen handelt es sich aber um keine gleichen Halbtöne. Man muss noch die "Korrekturen" K={0 1 0} (synthonisches Komma) und k={0 0 1} (Ganzton - 2 Halbtöne) anbringen.
Wird diese ausgedrückt als {x y z} muss folgende Gleichung gelöst werden:
{x y z} = x·(0 0 1) + y·(1 -1 0) + z·(-1 0 2) = (2 1 2)
Das lineares Gleichungssystem
y - z = 2
-y = 1
x + 2·z = 2
hat die Lösung: {x y z} = {8 -1 -3), d.h.
c-as liegt 8 Halbtöne auseinander. Der Ton ist jedoch zu hoch.
Zur Korrektur muss man ein synth. Komma und drei mal die (Differenz von zwei Halbtönen und Ganzton) tiefer.

Das Programm TTMusik basiert auf diesem Tonsystem. Jedes Intervall erklingt dort rein. Man muss dabei vorgeben, in welcher Tonart man sich befindet. Zum Beispiel erklingt der Dreiklang dfa in C-Dur unrein, in F-Dur oder d-moll jedoch rein.

Die Ordnung in Tonsystemen

Was in der Darstellung unseres Tonsystems nicht bestimmbar ist, sind die Größenverhältnisse von Oktav, Quint, Quart u.s.w. Die sind hörpsychologisch vorgegeben. Bei den Pythagoreern rein spekulativ (aber - wie sich später zeigte- als Frequenzverhältnisse). [Bei Euklid "Teilung des Kanons" zum Beispiel

Ok<6G, q<5/2G, und Q<7/2G (siehe Neumeier S.132)]



Wir schreiben für Intervalle i, j und ganze Zahlen z, n (n>0): ^z/_n·i<=j,
falls zi<=nj (^z/_n·i braucht jedoch kein Intervall zu sein!)

Die folgende Funktion ist nun eindeutig definiert:
(I = Intervallraum; R = Menge der reellen Zahlen)
I ——> R
i ——>m(i)=sup{^z/_n·| z Z; n N; ^z/_n·i<=Ok
zum Beispiel Vergleich Quinte und Oktav.
1. Näherung: 2Q > Ok
2. Näherung: 5Q < 3Ok
3. Näherung: 12Q > 7Ok
4. Näherung: 41Q < 24Ok (noch hörbar)
5. Näherung: 53Q > 31Ok (Grenze des hörbaren Unterschiedes erreicht. Hörpsychologisch also fast 53Q = 31 Ok)
6. Näherung: 306Q < 179 Ok (rein theoretisch)
7. Näherung 665Q > 398 Ok
...

Berechnung: Siehe Kettenbrüche
Nach dem Satz von Hölder, der für alle archimedisch geordnete Gruppen hergeleitet werden kann, gilt dann:
Die Zuordnung m ist ein Isomorphismus von (I,+,<) in (R,+,<), d.h.

Für diese Funktion gilt: (i) m(o)=0
(ii) m(Ok)=1 und
(iii) m(i+j)=m(i)+m(j) für alle i,j ε I
(iv) aus i
Mit dieser Funktion kann ich jedes Intervall als reelles Vielfaches von Ok betrachtet: j=m(i)·Ok m(i) ε R.

Die Maßeinheit Cent wird dann nach dem Engländer Alexander John Ellis definiert durch: 1 Ok =1200 Cent
Das Intervall i hat x Cent, falls x=m(i)·1200,
Bei der gleichmäßigen Stimmung kommt man mit der Einheit
1 Halbton = ¹/₁₂ Oktav aus.
Ich kann sogar ein "Zentimetermaß" für Intervalle einführen. Setzte ich: 1 Einheit = 1 Oktave, dann ist zum Beispiel durch Q = 0,585 [genau Q =lb(3/2)]zum Ausdruck gebracht, dass Q das 0,585-te Vielfache einer Oktav ist.

Dann ist i mit m(i) identifiziert. Die Zahl 0 die Prim und 1 ist die Oktave.

In der reinen Stimmung sind jedoch fast alle Intervalle inkommensurabel zur Oktave ,d.h. m(i) ist irrational.

Die Verwendung der reellen Zahlen ist hier ein mathematisches Artefakt: Jede Näherung (zum Beispiel die ganzzahlige) in Cent lässt keine Rückschlüsse mehr zu, wie sich das Intervall aus Oktaven, Quinten und Terzen zusammensetzt.

Geeigneter ist hier ein Isomorphismus f von (I,+,<) in (R+,·,<), wobei R+ die Menge der positiven reellen Zahlen bezeichnet.
Es gilt also:
(i) f(0)=1
(ii) f(Ok)=2 und
(iii) f(i+j)=f(i)·f(j) für alle i,j ε I
(iv) aus iDer Zusammenhang der Funktionen m und f ist dann folgender

f(i)=2^m(i) m(i)=lb(f(i)) = ^lg(f(i))/_lg2 (lb ist der Logarithmus zur Basis 2, lg der Logarithmus zur Basis 10).


Modern gesprochen ist f(i) das Frequenzverhältnis des Intervalls i und m(i) das Maß des Intervalls in der oben angesprochenen additiven Struktur der Intervalle. Multipliziert man m(i) mit 1200, so erhält man die Angabe des Intervalls in Cent.

Die klassische Umrechnung werde an folgenden Beispielen erläutert:

Die Quinte: Frequenzverhältnis f(Q)=³/₂,
m(i) = lb - = 0,585 = 702 Cent
mit Cent = ¹/₁₂₀₀. (Analog zu 0,25 = 25% mit % = ¹/₁₀₀.)
Das pythagoreische Komma (12 Quinten aufwärts 7 Oktave abwärts):

                12
             1,5
f(12Q-7Ok) = —————— = 1,0136 
                7
               2

(klassisches Frequenzverhältnis).

m(12Q-7Ok)=12·m(Q)-7·m(Ok)=12·lb³/₂ - 7·lb(2) = 0,01955 = 23,46 Cent.
Erinnern Sie sich noch an die Logarithmengesetze? Dann ist auch folgende Beziehung klar:

                    12
                 1.5          3
 m(12Q-7Ok) = lb ———   = 12·lb- - 7·lb2,
                   7          2
                  2

d.h. Bei Frequenzverhältnissen wird multiplikativ gerechnet, bei Centangaben additiv!
Das Terzkomma (Zwei Ganztöne aufwärts eine große Terz abwärts):

                  2
             (9/8)   81
f(2G - gT) = ————— = —— = 1,0125  
              5/4    80
          
  (klassisches Frequenzverhältnis).


m(2G - gT) = 2·lb(9/8) - lb(5/4) = 0,017 921 = 21,5 Cent.


Zuordnung der Verhältnissen aus der Obertonreihe

Modern sind Tönen Frequenzen und Intervallen Frequenzverhältnisse zugeordnet. Diese Verhältnisse erhalten wir hier ganz natürlich in unserem Tonraum durch die Obertonreihe.



Im folgenden sei (T,I,<) der Quint-Terz-Tonraum.
Jedes Intervall i hat dann die Darstellung i=xOk+yQ+zgT=[x y z] für ganze Zahlen x,y und z.
Wir betrachten den Isomorphismus f von (I,+,<) in (Q+,·,<) (siehe oben).
Aus der Obertonreihe erhalten wir (ohne Umwege über die Funktion m):
f(Ok)=2
f(Ok+Q)=3 -> f(Q)=3/f(Ok)=3/2
f(2Ok)=4
f(2Ok+gT)=5 -> f(gT)=5/f(2Ok)=5/4
Mathematisch sind das Axiome, die wir zusätzlich fordern.
Mit Hilfe unserer Basisvektoren
f(Ok) =f[1 0 0]=2, f(Q)=f[0 1 0]=³/₂ und f(gT)=f[0 0 1]= ⁵/₅
folgt daraus:

               y     z
          x  3     5
f[x y z]=2 ·(-)  ·(-)    
             2     4

 (x,y,z ganze Zahlen).


Schon die Pythagoreer ordneten den Intervallen Verhältnisse zu.
Modern gesprochen ordnen wir jedem Intervall sein Frequenzverhältnis zu.
Der Wertebereich dieser Abbildung ist
ZDF={2^x·3^y·5^z | x,y,z ε Z}
(Z_weierpotenzen,D_reierpotenzen und F_ünferpotenzen).
Die Umkehrfunktion erhalten wir ohne Logarithmen folgendermaßen aus der Obertonreihe:

_             _                 _
f(2)=[1 0 0], f(3)=[1 1 0]  und f(5)=[2 0 1], somit

_  x y  z
f(2·3 ·5 )=[x 0 0] + [y y 0] + [2z 0 z]=[x+y+2z y z]

Bsp.:

_ 81    _  3·3·3·3
f(——) = f(—————————) 
  80      2·2·2·2·5
 
 -4[1 0 0] + 4[1 1 0] - [2 0 1] = [-2 4 -1]

d.h.  zwei Oktaven abwärts 4 Quinten aufwärts 

      1 Terz abwärts.

c' ——>C——>e'+ ——>c'+ (syntonisches Komma)

Anhang: Ein Axiomensystem für den Tonraum

Wir betrachten den Tonraum (T,I,+,<).
T=Menge der Töne (genauer: Tonhöhe)
Variablen von Tönen werden mit großen Buchstaben A,B,C,.. geschrieben.


I = Menge der Intervalle
Variablen von Intervallen werden mit kleinen Buchstaben i,j,... geschrieben.

Nun folgen 11 Axiome für diese Struktur ähnlich den Axiomen des affinen Raumes. Die Töne A, B ... entsprechen den Punkten, die Intervalle i=AB ... den Vektoren.

Zuerst wird die Struktur der Intervalle beschrieben:


Die Menge der Intervalle I ist bez. '+' eine kommutative archimedisch geordnete Gruppe.

D.h. es gelten die Gesetze (1) bis (8):

(1)	Abgeschlossenheit: Für zwei Intervalle i und j gilt: i+j ist wieder ein
	Intervall [zum Beispiel Quart + Terz =Sext]
(2)	Assoziativgesetz: (i+j)+k=i+(j+k)
(3)	Kommutativgesetz: i+j=j+i
(4)	Existenz des Nullelementes und Inversen:
	i+x=j ist stets eindeutig lösbar, geschrieben x=j-i
	(Insbesondere gibt es das Nullintervall [Prim] o: i+o=i
	und zu jedem Intervall i das inverse Intervall -i mit
	i+(-i)=o)
(5)	Trichotomie: Stets gilt: ij
(6)	Transitiv: Aus i
(7)	Monotonie: Aus i
(8)	Archimedisches Gesetz: Stets gibt es zu Intervallen i und j mit 0
	natürliche Zahl n so, dass n·i>j, wobei man das Intervall n·i durch n-maliges
	Addieren des Intervalls i erhält.



Nun wird die Struktur der Töne beschrieben:

T ist "affiner" Raum über I.

D.h. Es gelten die folgenden Gesetze (9), (10) und (11).



(9)	Je zwei Töne A und B bestimmen genau ein Intervall i,
	geschrieben i=AB [oder wie Vektoren AB mit Pfeil darüber]
	[Auf diese Weise kann ich erst jemanden das Intervall mitteilen, sinnlich
	ist das Intervall ein Klang]
	(Alternativ könnte man auch wie bei Ortsvektoren i=B-A schreiben).
(10)	Ein Ton A und ein Intervall i bestimmen genau einen Ton B
	so, dass i=AB, geschrieben B=A+i.
	[Achtung: A+i ist eine andere Addition als i+j!]
	[Allein mit dem Gehör finde ich zu einem gegeben Ton den Ton, der zum Beispiel
	eine große Terz höher liegt]
	Also: i=AB <-> B=A+i
(11)	A+(i+j)=(A+i)+j für Töne A und Intervalle i und j
	("gemischtes" Assoziativgesetz.)
	[zum Beispiel Oft findet man den Ton, der eine Quinte höher liegt, mit Hilfe
	des Dur-Dreiklanges: zuerst wird die große Terz, dann die kleine
	Terz angesetzt].
(11A)	Alternativ: AB+BC=AC



Beweis der Gleichwertigkeit:



Setze B=A+i, d.h. i=AB, und C=B+j, d.h. j=BC.
"=>"	Sei A+(i+j)=(A+i)+j für alle A ε T und i,j ε I.
	Dann folgt: A+(i+j)=(A+i)+j (nach (11))
	= B+ j=C.
	Somit AC=i+j=AB+BC
"<="	Sei AB+BC=AC für alle A,B,C ε T
	Gegeben sei A ε T und i,j El I.
	Setze B=A+i und C=B+j, d.h. i=AB und j=BC. Dann gilt:
	(A+i)+j=B+j=C und A+(i+j)=A+(AB+BC)=A+AC=C. Somit:
	A+(i+j)=(A+i)+j
	q.e.d.



Lemma: A+o=A, wobei o das Nullintervall ist; d.h. AA=o.

Beweis: Nach (11A) gilt: AA=AA+AA -> AA=o

Lemma: BA=-AB Bew.: AB+BA=o => BA=-AB

Bemerkung: In T kann man auf folgende Weise noch eine Ordnung definieren:

A < B <=> AB > o (siehe Axiom 4; AB ist das den Tönen A und B zugeordnete Intervall)

Hörpsychologisch: Der Ton B erklingt " höher" als der Ton A.

Axiome brauchen wir für diese Relation nicht, da alles über Größenverhältnisse auf Intervalle zurückgeführt werden kann.



Hinweis:	T ist "geordneter affiner" Raum über dem "Intervallraum" I, wobei I
	diesmal kein Vektorraum - wie bei affinen Räumen üblich- sondern
	eine kommutative archimedisch geordnete Gruppe ist.

Man beachte:

Nur zwei Intervalle oder ein Ton und ein Intervall können addiert werden, nicht jedoch zwei Töne! (Man könnte - wie bei affinen Räumen- von "Ortsintervallen" sprechen):

Wird in T ein Ton -zum Beispiel A- als Basis genommen, dann ist jeder weitere Ton X durch das Intervall i=AX eindeutig bestimmt und umgekehrt jedes Intervall i durch den Ton X=A+i.

Ein gleichwertiges Axiomensystem ist auch durch eine Äquivalenzrelation auf Tonpaaren zu bewerkstelligen.

Zwei Tonpaare (A,B) und (C,D) sind äquivalent, wenn Ihnen dasselbe Intervall zugeordnet wird: (A,B)~(C,D) <-> AB = CD (siehe oben Axiom 9 ).

Bemerkung:

Nach dem Satz von Hölder ist der Intervallraum (I,+,<) isomorph zu einer Teilgruppe von (R,+,<).

Mit heutigem physikalischen Kenntnisstand über Frequenzverhältnisse und dem Logarithmus ist das klar. Davon machen wir aber keinen Gebrauch, da die axiomatische Betrachtungsweise wesentlich intuitiver ist.

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Literatur siehe Wilfried Neumaier
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