Joachim Mohr   Mathematik, Musik, Delphi
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Mathematische Beschreibung von Tonsystemen


Neufassung: Lektionen zur Musiktheorie       Übersicht über alle möglichen Intervalle

Zusammenfassung

Vom hörpsychologischen Standpunkt aus (wie die alten Griechen ohne Physik) kann man feststellen: Die Intervalle des Tonraums sind geordnet ("7 Oktaven sind kleiner als 12 Quinten"), werden additiv geschrieben und können im System der reinen Stimmung durch 3-dimensionale "Vektoren" (je nach Basis verschieden) dargestellt werden. Die von der Physik her bekannten Frequenzverhältnisse erhält man allein aus der Obertonreihe 1, 2, 3, 4, 5.

Für Mathematiker: Der Intervallraum ist eine archimedisch geordnete kommutative Gruppe. Diese Gruppe ist nach dem Satz von Hölder isomorph zu eine additiven Teilgruppe der reellen Zahlen.


Es handelt sich hier um eine Vereinfachung eines Systems von Winfried Neumaier und ist dort als Anhang in seinem Buch "Was ist ein Tonsystem" veröffentlicht. Ein am mathematischen Institut in Tübingen im Dezember 1996 gehaltener Vortrag wird hier in überarbeiteter Version vorgestellt. (Danksagung an Wilfried Neumaier für die vielen anregenden Diskussionen über dieses Thema während seiner Tätigkeit als Leiter des ev. Kirchenchores in Rottenburg.)

Einleitung

Ich beabsichtige im folgenden die formale Struktur des Tonraums ohne Bezugnahme auf die Physik mathematisch zu beschreiben. Nur was man mit Hilfe des Hörens bestimmen kann, soll beschrieben werden. Das Gehör ist also die einzige Möglichkeit, Aussagen zu verifizieren. Wir werden uns dem Gegenstand mit möglichst wenigen Voraussetzungen annähern.

Der Ton- und Intervallraum als mathematische Struktur

Hinweis: Dieser Artikel wurde nach Wikipedia übertragen und dort von anderen Mitautoren verändert (meist verbessert).

Töne sind hörbar. Von diesem unmittelbares sinnliches Erlebnis gehen wird aus ... ohne Messinstrumente. Uns genügt, was wir hören. Wir lassen uns wie ein Sänger nur von unserem Gehör leiten.

Intervalle sind als Klang wahrnehmbar, eng verbunden mit zwei Tönen. Wir führen für das Intervall i, das durch zwei Töne A und B bestimmt ist, die Bezeichnung i = AB ein. Wenn Sie zum Beispiel zuerst eine große Terz gT auf dem Ton Des intonieren und anschließend auf dem Endton F eine kleine Terz kT, dann landen Sie bei As. Nach der nun folgenden Bezeichnung haben Sie zwei Intervalle addiert und eine Quinte Q erhalten: As = (Des + gT) + kT = Des + (gT+kT) = Des + Q   mit Q = gT + kT.

Wir betrachten:

Die Menge T der Töne (genauer: Tonhöhe) A,B, ...
    zum Beispiel: A=Des B=As

Die Menge I der Intervalle i, j, ...
    zum Beispiel i=gT (große Terz), j=kT (kleine Terz)

Sind A und B zwei Töne, so bestimmen sie eindeutig ein Intervall i.
Wir schreiben dafür: i=AB (A "Grundton", B "Endton").
    zum Beispiel ist für A=Des und B=As die Quinte Q=AB bestimmt.

Ist umgkehrt der Grundton A und das Intervall i bekannt, so ist durch i=AB der Endton B eindeutig bestimmt.
Wir schreiben dafür B=A+i. (B Ton, i Intervall)

Intervalle kann man nach folgender Vorschrift addieren:
Ist i=AB und j=BC, dann sei i+j = AC.
Das bedeutet: Singe ich zuerst auf dem Grundton A das Intervall i bis zum Endton B und dann auf dem Grundton B das Intervall j bis C, dann ist das Intervall k=AC eindeutig bestimmt und werde mit i+j bezeichnet: k = i+j.
zum Beispiel gT + kT = Q (Große Terz + kleinen Terz = Quint).

Schließlich kann man Intervalle vergleichen.
Wir schreiben i zum Beispiel Q < Ok (Quint < Oktav) oder 2Q > Ok (Zwei Quinten > Oktav), wobei wie üblich 2Q=Q+Q bedeutet.

Damit haben wir eine mathematische Struktur (T,I,+,<) für den Tonraum eingeführt (siehe Anhang ).

Tonsysteme

Im folgenden werden wir 1. das gleichschwebende, 2. das Quintsystem und 3. das der reinen Stimmung mit einem Anhang über mitteltönige Stimmungen als "Tonräume" beschreiben.

In allen Erweiterungen verwenden wir das Oktavaxiom (ein "Reichhaltigkeitsaxiom": Neben dem Nullintervall soll noch ein zweites existieren.)

Axiom: Es gibt ein Intervall Ok - genannt die Oktave-, verschieden vom Nullintervall, der Prim.

(Mathematisch ist jedes beliebige Intervall geeignet. Ich kenne keine Eigenschaft in diesem System, das die Oktav auszeichnen würde. Man muss also zum Beispiel die Seite eines Monocords halbieren, um den Höreindruck einer Oktav zu erzeugen.)

Weitere Intervalle können mit der Oktavaxiom verglichen werden. Zum Beispiel: Ein bestimmtes Intervall i (denken Sie an die "Quinte") ist kleiner als die Oktav, aber das zweifache Intervall 2·i=i+i ist größer als die Oktav.

1. Der zwölfstufige Tonraum

Dieses System ist mathematisch sehr einfach. Vom Hören kann man es jedoch nicht erschließen, wenn wir nicht Tongenerator und Logarithmentafel oder ähnliches zu Hilfe nehmen. 

Axiom   Es gibt ein Intervall H -genannt Halbton- so, daß 12·H=Ok
        und jedes Intervall ist ein Vielfaches von H.

Somit ist der Intervallraum mit Z= Menge der ganzen Zahlen darstellbar als I= Z·H={z·H| z ε Z} Wählt man willkürlich einen Ton c ε T, dann ist T=c+ Z·H={c+z·H|z ε Z}

Vom Geigen- oder Trompetenspiel u.s.w her gesehen ist die gleichmäßige Einteilung der Oktave in zwölf gleiche Intervalle jedoch alles andere als trivial ... es ist ein Artefakt.

Vereinfachen wir das Problem und versuchen wir, die Oktave in zwei gleiche Intervalle aufzuteilen.

Gesucht: Intervall i mit 2·i = Ok.

Ein an die gleichschwebenden Stimmung gewöhnte Musiker würde sagen:
C - Fis halbiert die Oktave.

Gehen wir einmal davon aus, dass ein Musiker die reine Oktave, die reine Quint, die reine Terz und alle Intervalle die sich daraus kombinieren lassen, exakt intonieren kann. (siehe das nächste Tonsystem). Dass dies ein guter Sänger, Violinist, Trompeter u. s. w. kann, wird wohl niemand ernsthaft bestreiten.
Wie ist aber C - Fis zu intonieren? 

Eine große Terz plus ein Ganzton?
Mit Frequenzverhältnissen gerechnet:
i = Terz + Ganzton = Intervall mit dem Frequenzverhältnis  5/4·9/8 = 45 /32.
Dann hat 2·i das Frequenzverhältnis 2025/1024 < 2048/1024 (=Ok)
Zu klein für eine Oktav!!
Man müßte also das gesuchte Intervall i etwas vergrößern, damit 2·i = Ok.
Exakt kann man das nicht.
Und dasselbe gilt erst recht für den Halbton H mit 12·H = Ok.

Ich behaupte deshalb: Der zwölfstufige Tonraum ist allein vom Hören her nicht zu begründen.

Wer das Gegenteil behauptet, müßte den exakten Halbton mit Musikinstrumenten ohne Berechnung der 12. Wurzel von 2 so intonieren können wie eine Oktave, eine Quint oder eine Terz. (Die mit Hilfe der Obertonreihe einfach zu finden sind.)

Die gleichstufige Stimmung ist nur eine bequeme Möglichkeit, Tasteninstrumente in allen Tonarten spielbar zu machen. Erst nach der zerfallenden Harmonik der Spätromantik betrachtete man den zwölfstufigen Tonraum als eigenständig.

Historisch gesehen war es ein großes Problem, ohne Stimmgeräten und Frequenzmessern, die erst im 20. Jahrhundert verfügbar waren, Instrumente gleichstufig zu stimmen. Neben dem Gehör wurde etwa das Metronom verwendet, um die Frequenz der Schwebungen zu bestimmen

Die wohltemperierten Stimmungen kamen der gleichstufigen Stimmung mehr oder weniger nah, behielten aber stets noch eine "Tonartencharakteristik".

Andreas Werckmeister (1645-1706), ein Zeitgenosse Buxtehudes und Bachs, preist die Vorzüge solcher Stimmungen mit Vorbehalt: Die Menschen würden "jubiliren" "wenn ... ein accurates Ohr dieselbe auch ... zu stimmen weiss".

Johann Sebastian Bach stimme sein Clavichord immer selbst und benötigte dafür nie mehr als eine Viertelstunde. Es ist anzunehmen, dass er sie nicht gleichstufig stimmte. Aber seine "wohl temperierte" Stimmung wird sein Geheimnis bleiben. (Quelle Balint Dobozi ).

Nachtrag 2006: Das Geheimnis J.S. Bachs wurde 1998 durch eine bahnbrechende Entdeckung gelüftet. Siehe 8. Lektion zur Musiktheorie

2. Das Quintsystem

Sie alle kennen musikalisch die Quinte. Sie werde mit Q bezeichnet.

Im diesem Abschnitt überlegen wir uns. Wie können wir einen kleinsten Tonraum darstellen, der durch die Oktave und die Quinte bestimmt ist?

Wir definieren das Quintsystem folgendermaßen:

Definition: (1) Es gibt zwei Intervall Ok (Oktav) und Q (Quint).

            (2) Zu jedem weiteren Intervall i gibt es eindeutig

                bestimmte ganze Zahlen n,m so, daß i=n·Ok+m·Q.

                d.h. jedes Intervall ist eindeutig als

                     Linearkombination von Ok und Q darstellbar.

(2) ist äquivalent zu

(2a)  Jedes Intervall ist Linearkombination von Ok und Q  und (2b)  aus n·Ok=m·Q folgt n=m=0. 

                                                               n
Wir schreiben für Intervalle i, j und ganze Zahlen n, m (m>0): -i<=j,
                                                               m

falls ni <= mj.

Beispiel: Da (hörpsychologisch) 12 Quinten 7 Oktaven übertreffen, ist

                                                                     7
          die Quinte größer als der zwölfte Teil von 7 Oktaven: Q > ——Ok.
                                                                    12

           n
Beachte :  -·i braucht kein Intervall zu sein. Im vorhergehenden
           m

Abschnitt sahen wir ja, dass mit dem Gehör die "halbe Oktav" nicht exakt

zu treffen ist.

Axiom (2b) besagt dann: Es ist nicht möglich Q als rationales Vielfaches

der Oktave darzustellen.

Unser Intervallraum hat nun die einfache Darstellung  

I = Z·Ok + Z·Q (Ok=Oktave; Q=Quinte; Z = Menge der ganzen Zahlen)

Dann kann man weitere Intervalle definieren (im Vorgriff werden

die Frequenzverhältnisse schon angeben.)

             Ganzton     Q=2Q-Ok         (9/8)

             Ditonos     2G=4Q-2Ok       (81/64)

             Quart       q=Ok-Q          (4/3)

             Leimma      L=Quart-Ditonos (256/243) (=H- siehe unten)

             ———————— für die Theorie ——————————

             Apotome     A=G-L           (2187/2048)

             pyth. Komma k=12Q-7Ok=A-L   (531441/524288) (Im Vorgriff: 23,46 Cent)

Daraus lässt sich eine Tonleiter bauen: die Pythagoras zugeschriebene

Quintenstimmung (Gratzki S.21) (das diatonische Tongeschlecht)

Intervall     G     G      L    G      G     G     L

Ton        c     d      e    f      g     a      h   c

In der frühen Zweistimmigkeit und den Anfängen der Mehrstimmigkeit ist diese Intonation denkbar.
Quinten klingen in dieser Intonation rein. Mir ist aufgefallen, dass auch die Diskantklausel mit dem pythagoreischen Ganzton in dieser Tonleiter einen besonders guten Klang hat (Mit dem kleinen Ganzton - siehe unten- klänge sie fade).

In der Einstimmigkeit hat die pythagoreische Tonleiter eine gewisse Berechtigung. Die Terz klingt dissonant (scharf). Bei Tastenistrumente, die bis 1550 so gestimmt wurden, wurde klar, dass bei der Mehrstimmigkeiten Unreinheiten auftraten. Dem begegnete man dadurch, dass man sie nach mitteltönigen Temperaturen stimmte. Eine reine Stimmung der Tasteninstrumente für alle Tonarten war bei einer Beschränkung auf 12 Tasten pro Oktave unmöglich. 

Bemerkung zur scharfen Terz der pythagoreischen Stimmung ("Cent" siehe unten).
Mit TTMusik lässt sich das leicht darstellen.
TA   D    Akkord   In Cent
c         ce        386,3
c         ce+       407,8
~         ce        400
Die reine Terz umfasst 387 Cent, die pythagoreische 408 Cent und die gleichschwebende 400 Cent.

Auszug: Brief Guidos an den Mönch Michael

In diesem Brief beschreibt Guido von Arezzo (992(ca.) - 1050) die pythagoreische Tonleiter folgendermaßen.
(Anschließend die authentischen und plagalen Kirchentöne).

(1) Denn wie es in der Woche sieben Tage gibt, so gibt es in der Musik sieben Töne.

(2) Die andern Töne, welche über diese sieben hinaus noch beigefügt werden, sind dieselben und klingen in jeder Beziehung ganz gleich, indem sie in Nichts eine Verschiedenheit zeigen, als nur darin, daß sie noch einmal so hoch tönen. Darum nennen wir auch die einen sieben die "tiefen", die andern sieben dagegen die "hohen".

<3> Die sieben Buchstaben (zur Bezeichnung der Töne) werden aber nicht doppelt (d. h. einmal wie das andere Mal), sondern in verschiedener Weise so geschrieben:

Gamma A B C D E F G a h c d e f g aa hh cc dd

Im Monochorde aber werden die Töne nach folgenden Buchstaben oder Maßen verteilt:


InFrequenzverhältnisse übersetzt bedeutet dies