Joachim Mohr   Mathematik Musik Delphi

Anhang: Ein Axiomensystem für den Tonraum

Wir betrachten den Tonraum (T,I,+,<).
T=Menge der Töne (genauer: Tonhöhe)
Variablen von Tönen werden mit großen Buchstaben A,B,C,.. geschrieben.

I = Menge der Intervalle
Variablen von Intervallen werden mit kleinen Buchstaben i,j,... geschrieben.

Nun folgen 11 Axiome für diese Struktur ähnlich den Axiomen des affinen Raumes. Die Töne A, B ... entsprechen den Punkten, die Intervalle i=AB ... den Vektoren.

Zuerst wird die Struktur der Intervalle beschrieben:

Die Menge der Intervalle I ist bez. '+' eine kommutative archimedisch geordnete Gruppe.

D.h. es gelten die Gesetze (1) bis (8):

(1) Abgeschlossenheit: Für zwei Intervalle i und j gilt: i+j ist wieder ein
  Intervall [zum Beispiel Quart + Terz =Sext]
(2) Assoziativgesetz: (i+j)+k=i+(j+k)
(3) Kommutativgesetz: i+j=j+i
(4) Existenz des Nullelementes und Inversen:
  i+x=j ist stets eindeutig lösbar, geschrieben x=j-i
  (Insbesondere gibt es das Nullintervall [Prim] o: i+o=i
  und zu jedem Intervall i das inverse Intervall -i mit
  i+(-i)=o)
(5) Trichotomie: Stets gilt: ij
(6) Transitiv: Aus i
(7) Monotonie: Aus i
(8) Archimedisches Gesetz: Stets gibt es zu Intervallen i und j mit 0
  natürliche Zahl n so, dass n·i>j, wobei man das Intervall n·i durch n-maliges
  Addieren des Intervalls i erhält.


Nun wird die Struktur der Töne beschrieben:

T ist "affiner" Raum über I.

D.h. Es gelten die folgenden Gesetze (9), (10) und (11).

(9) Je zwei Töne A und B bestimmen genau ein Intervall i,
  geschrieben i=AB [oder wie Vektoren AB mit Pfeil darüber]
  [Auf diese Weise kann ich erst jemanden das Intervall mitteilen, sinnlich
  ist das Intervall ein Klang]
  (Alternativ könnte man auch wie bei Ortsvektoren i=B-A schreiben).
(10) Ein Ton A und ein Intervall i bestimmen genau einen Ton B
  so, dass i=AB, geschrieben B=A+i.
  [Achtung: A+i ist eine andere Addition als i+j!]
  [Allein mit dem Gehör finde ich zu einem gegeben Ton den Ton, der zum Beispiel
  eine große Terz höher liegt]
  Also: i=AB <-> B=A+i
(11) A+(i+j)=(A+i)+j für Töne A und Intervalle i und j
  ("gemischtes" Assoziativgesetz.)
  [zum Beispiel Oft findet man den Ton, der eine Quinte höher liegt, mit Hilfe
  des Dur-Dreiklanges: zuerst wird die große Terz, dann die kleine
  Terz angesetzt].
(11A) Alternativ: AB+BC=AC


Beweis der Gleichwertigkeit:

Setze B=A+i, d.h. i=AB, und C=B+j, d.h. j=BC.
"=>" Sei A+(i+j)=(A+i)+j für alle A ε T und i,j ε I.
  Dann folgt: A+(i+j)=(A+i)+j (nach (11))
  = B+ j=C.
  Somit AC=i+j=AB+BC
"<=" Sei AB+BC=AC für alle A,B,C ε T
  Gegeben sei A ε T und i,j El I.
  Setze B=A+i und C=B+j, d.h. i=AB und j=BC. Dann gilt:
  (A+i)+j=B+j=C und A+(i+j)=A+(AB+BC)=A+AC=C. Somit:
  A+(i+j)=(A+i)+j
  q.e.d.


Lemma: A+o=A, wobei o das Nullintervall ist; d.h. AA=o.

Beweis: Nach (11A) gilt: AA=AA+AA -> AA=o

Lemma: BA=-AB Bew.: AB+BA=o => BA=-AB

Bemerkung: In T kann man auf folgende Weise noch eine Ordnung definieren:

A < B <=> AB > o (siehe Axiom 4; AB ist das den Tönen A und B zugeordnete Intervall)

Hörpsychologisch: Der Ton B erklingt " höher" als der Ton A.

Axiome brauchen wir für diese Relation nicht, da alles über Größenverhältnisse auf Intervalle zurückgeführt werden kann.

Hinweis: T ist "geordneter affiner" Raum über dem "Intervallraum" I, wobei I
  diesmal kein Vektorraum - wie bei affinen Räumen üblich- sondern
  eine kommutative archimedisch geordnete Gruppe ist.
Man beachte:
Nur zwei Intervalle oder ein Ton und ein Intervall können addiert werden, nicht jedoch zwei Töne! (Man könnte - wie bei affinen Räumen- von "Ortsintervallen" sprechen):
Wird in T ein Ton -zum Beispiel A- als Basis genommen, dann ist jeder weitere Ton X durch das Intervall i=AX eindeutig bestimmt und umgekehrt jedes Intervall i durch den Ton X=A+i.
Ein gleichwertiges Axiomensystem ist auch durch eine Äquivalenzrelation auf Tonpaaren zu bewerkstelligen.
Zwei Tonpaare (A,B) und (C,D) sind äquivalent, wenn Ihnen dasselbe Intervall zugeordnet wird: (A,B)~(C,D) <-> AB = CD (siehe oben Axiom 9 ).
Bemerkung:
Nach dem Satz von Hölder ist der Intervallraum (I,+,<) isomorph zu einer Teilgruppe von (R,+,<).
Mit heutigem physikalischen Kenntnisstand über Frequenzverhältnisse und dem Logarithmus ist das klar. Davon machen wir aber keinen Gebrauch, da die axiomatische Betrachtungsweise wesentlich intuitiver ist.

Literatur siehe Wilfried Neumaier