Anhang: Ein Axiomensystem für den Tonraum

Wir betrachten den Tonraum (T,I,+,<).
T=Menge der Töne (genauer: Tonhöhe)
Variablen von Tönen werden mit großen Buchstaben A,B,C,.. geschrieben.

I = Menge der Intervalle
Variablen von Intervallen werden mit kleinen Buchstaben i,j,... geschrieben.

Nun folgen 11 Axiome für diese Struktur ähnlich den Axiomen des affinen Raumes. Die Töne A, B ... entsprechen den Punkten, die Intervalle i=AB ... den Vektoren.

Zuerst wird die Struktur der Intervalle beschrieben:

Die Menge der Intervalle I ist bez. '+' eine kommutative archimedisch geordnete Gruppe.

D.h. es gelten die Gesetze (1) bis (8):

(1)	Abgeschlossenheit: Für zwei Intervalle i und j gilt: i+j ist wieder ein
	Intervall [zum Beispiel Quart + Terz =Sext]
(2)	Assoziativgesetz: (i+j)+k=i+(j+k)
(3)	Kommutativgesetz: i+j=j+i
(4)	Existenz des Nullelementes und Inversen:
	i+x=j ist stets eindeutig lösbar, geschrieben x=j-i
	(Insbesondere gibt es das Nullintervall [Prim] o: i+o=i
	und zu jedem Intervall i das inverse Intervall -i mit
	i+(-i)=o)
(5)	Trichotomie: Stets gilt: i‹j, i=j oder i›j
(6)	Transitiv: Aus i‹j und j‹k folgt i‹k
(7)	Monotonie: Aus i‹j folgt i+k‹j+k
(8)	Archimedisches Gesetz: Stets gibt es zu Intervallen i und j mit 0‹i‹j
	natürliche Zahl n so, dass n·i>j, wobei man das Intervall n·i durch n-maliges
	Addieren des Intervalls i erhält.

Nun wird die Struktur der Töne beschrieben:

T ist "affiner" Raum über I.

D.h. Es gelten die folgenden Gesetze (9), (10) und (11).

(9)	Je zwei Töne A und B bestimmen genau ein Intervall i,
	geschrieben i=AB [oder wie Vektoren AB mit Pfeil darüber]
	[Auf diese Weise kann ich erst jemanden das Intervall mitteilen, sinnlich
	ist das Intervall ein Klang]
	(Alternativ könnte man auch wie bei Ortsvektoren i=B-A schreiben).
(10)	Ein Ton A und ein Intervall i bestimmen genau einen Ton B
	so, dass i=AB, geschrieben B=A+i.
	[Achtung: A+i ist eine andere Addition als i+j!]
	[Allein mit dem Gehör finde ich zu einem gegeben Ton den Ton, der zum Beispiel
	eine große Terz höher liegt]
	Also: i=AB <-> B=A+i
(11)	A+(i+j)=(A+i)+j für Töne A und Intervalle i und j
	("gemischtes" Assoziativgesetz.)
	[zum Beispiel Oft findet man den Ton, der eine Quinte höher liegt, mit Hilfe
	des Dur-Dreiklanges: zuerst wird die große Terz, dann die kleine
	Terz angesetzt].
(11A)	Alternativ: AB+BC=AC

Beweis der Gleichwertigkeit:

Setze B=A+i, d.h. i=AB, und C=B+j, d.h. j=BC.
"=>"	Sei A+(i+j)=(A+i)+j für alle A ε T und i,j ε I.
	Dann folgt: A+(i+j)=(A+i)+j (nach (11))
	= B+ j=C.
	Somit AC=i+j=AB+BC
"<="	Sei AB+BC=AC für alle A,B,C ε T
	Gegeben sei A ε T und i,j El I.
	Setze B=A+i und C=B+j, d.h. i=AB und j=BC. Dann gilt:
	(A+i)+j=B+j=C und A+(i+j)=A+(AB+BC)=A+AC=C. Somit:
	A+(i+j)=(A+i)+j
	∎

Lemma: A+o=A, wobei o das Nullintervall ist; d.h. AA=o.

Beweis: Nach (11A) gilt: AA=AA+AA -> AA=o

Lemma: BA=-AB Bew.: AB+BA=o => BA=-AB

Bemerkung: In T kann man auf folgende Weise noch eine Ordnung definieren:

A < B <=> AB > o (siehe Axiom 4; AB ist das den Tönen A und B zugeordnete Intervall)

Hörpsychologisch: Der Ton B erklingt " höher" als der Ton A.

Axiome brauchen wir für diese Relation nicht, da alles über Größenverhältnisse auf Intervalle zurückgeführt werden kann.

Hinweis:	T ist "geordneter affiner" Raum über dem "Intervallraum" I, wobei I
	diesmal kein Vektorraum - wie bei affinen Räumen üblich- sondern
	eine kommutative archimedisch geordnete Gruppe ist.

Man beachte:

Nur zwei Intervalle oder ein Ton und ein Intervall können addiert werden, nicht jedoch zwei Töne! (Man könnte - wie bei affinen Räumen- von "Ortsintervallen" sprechen):

Wird in T ein Ton -zum Beispiel A- als Basis genommen, dann ist jeder weitere Ton X durch das Intervall i=AX eindeutig bestimmt und umgekehrt jedes Intervall i durch den Ton X=A+i.

Ein gleichwertiges Axiomensystem ist auch durch eine Äquivalenzrelation auf Tonpaaren zu bewerkstelligen.

Zwei Tonpaare (A,B) und (C,D) sind äquivalent, wenn Ihnen dasselbe Intervall zugeordnet wird: (A,B)~(C,D) <-> AB = CD (siehe oben Axiom 9 ).

Bemerkung:

Nach dem Satz von Hölder ist der Intervallraum (I,+,<) isomorph zu einer Teilgruppe von (R,+,<).

Mit heutigem physikalischen Kenntnisstand über Frequenzverhältnisse und dem Logarithmus ist das klar. Davon machen wir aber keinen Gebrauch, da die axiomatische Betrachtungsweise wesentlich intuitiver ist.

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Literatur siehe Wilfried Neumaier