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Der Fundamentalsatz der Algebra

(Doktorarbeit 1799 von Carl Friedrich Gauß) Der Körper der komplexen Zahlen ist algebraisch abgeschlossen. D.h. jedes nicht konstante Polynom hat eine Nullstelle. Solch ein Polynom kann dann in Linearfaktoren zerlegt (faktorisiert) werden:
xn+an-1xn+...+a0=(x-x1)(x-x2)(x-x3)...(x-xn-1)(x-xn).
In diesem Fall ist (Verallgemeinerung des Satzes von Vieta):
                            n   
a    = -(x + x + ... + x= = ∑ x
 n-1      1   2         n  i=1 i

                                        n
a    = x x  + x x + ... x x  + ... x   x  = ∑     x x
 n-2    1 2    1 3       2 3        n-1 n  i,j=1   i j
                                       i kleiner j 

         n
a  = (-1) x x x ... x
 0         1 2 3     n
Folgerung: Reellwertige Polynome können in Linear- und quadratische Faktoren zerlegt werden.

Zum Beispiel hat das Polynom:
       4   3   2
P(x)= x + x + x + x + 1 keine reellwertigen Nullstellen.


Es kann aber zerlegt werden in:

       2   1    —         2   1    —    
P(x)=(x +  —(1+√5)x + 1)(x +  —(1-√5)x + 1)
           2                  2      
                                                         5  
(Die Nullstellen sind die nicht reellen Nullstellen von x - 1.

Sind alle Koeffizienten des Polynoms p in ℚ so heißt er kleinste Körper K in ℂ, der alle Nullstellen enthält, Zerfällungskörper von p.
Ein Automorphismen in K, der alle Elemente in ℚ festlässt, kann durch seine Wirkung auf die Nullstellen charakterisiert werden. (Siehe hier...)

Polynomdivision

siehe hier ...

Beispiel1:
(x5+1):(x+1) = x4-x3+x2-x+1 Rest 0 Also: x5+1=(x4-x3+x2-x+1)*(x+1)
-(x5+x4)
—————————
-x^4+1 usw.
Beispiel 2: (2x7-3x6+5x5+2x3+5):(2x2-3x+5) = x5+x+3/2 Rest -1/2x-5/2
Also: (2x7-3x6+5x5+2x3+5)= (x5+x+3/2)*(2x2-3x+5)-1/2x-5/2

Satz: Zu Polymomen f(x)≠0 und g(x)≠0 existieren eindeutig bestimmte Polynome q(x) und r(x) so dass
f(x)=q(x)g(x)+r(x) mit deg(r) kleiner deg(g).
Wir können also mit Polynomen wie mit ganzen Zahlen Rechnen, einschließlich Division mit Rest.
Weiteres Beispiel:
  5            4   3   2
(x - 1):(x-1)=x + x + x + x Rest 0
   5  4 
-(x -x )
————————
 4
x - 1
   4  3 
-(x -x )
————————
 3 
x - 1
   3  2 
-(x -x )
————————
 2
x -1 
   2   
-(x -x )
————————
x - 1
-(-x- 1)
————————
0 

2 (x + 3x -5):(x-2) = x + 5 Rest 5 2 -(x - 2x) ————————— 5x -(5x-10) ———————— 5 2 Also: (x + 3x -5)=(x-2)(x+5) + 5 Anwendung bei der Intergralrechnung: 2 (x + 3x -5) 5 1 2 ∫———————————dx = ∫[(x+5) + ———]dx = —x + 5x + 5ln|x-2| + C x-2 x-2 2

Mehrfache Nullstellen

mehr...

Hat das Polynom
        n       n-1       n-2           2
P(x) = x + a   x   + a   x   + ... + a x + a x + a
            n-1       n-2             2     1     0
mehrfache Nullstellen, so sind diese Nullstallen auch in der Ableitung des Polynoms
          n-1            n-2            n-3           
P'(x) = nx   + (n-1)a   x   + (n-2)a   x   + ... + 2a x + a 
                     n-1            n-2              2     1
(mindestens noch einfach) vorhanden.
Diese mehrfachen Nullstellen kann man über den ggT(P(x),P'(x)) mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus direkt berechnen.

Satz: P(x) dividiert durch ggT(P(x),P'(x)) hat nur einfache Nullstellen.

Man kann sich also bei der Berechnung von Nullstellen auf Polynome mit einfachen Nullstellen beschränken.

ggT(a,b) bei Zahlen

Quelle

Der euklidische Algorithmus fußt auf der Rekursionsformel ggT(a,b) = ggT(b,a-n*b), n so gewählt, dass noch a-n*b≥0 Bew.: Sei k=ggT(a,b) und a=a1*k und b:=b1*k. Dann ist a-n*b=(a1-n*b1)*k.

Beispiel ganze Zahlen: gesucht ggT(273,231)
273=231*1+42
231=42*5+21
42=21*2+0 
Also: ggT(273,231)=21 Probe: 273=21*13 231=21*11;

ggT(P,P') bei Polynomen

Beispiel p1=P(x)=x3-7x2+15x-9
p2=P'(x)=3x2-14x+15

Euklidischer   Algorithmus:
P1=P2*k1+p3    k1,k2,k3... müssem errechnet werden
p2=p3*k2+p4    ist p5=0, dann ist ggT(p1,p2)=p4
p3=p4*k3+p5    früher oder später
...


P1=P2*(1/3x-7/9)-8/9+8/3; k2=1/3x-7/9; P3=1/3x-7/9
P2=P3*k1+p4; k3:=-27/8*x+45/8, p4=0
Also ggt(p1,p2)=p3=-8/9*(x-3)
                2 
Und P(x):(x-3)=x - 4x +3 hat nur einfache Nullstellen.
Es ist nämlich: P(x)=x3-7x2+15x-9=(x-3)2*(x-1) und
P'(x)=3x2-14x+15=(x-3)(3x-5)

Eisensteinkriterium

verlegt nach hier...

Geschichtliche

FLA 327
Quadratische Gleichungen ca. 1700 v. Chr. mit geometrischen Methoden,
beschrieben 800 n. Chr. von al-KHWARIZMI, der beim Kalifen von Bagdat arbeitete.

Gleichungen 3. und 4. Grades zur Zeit der Renaissance in Italien,
Höhepunkt war die Ars magna von Cardano, erschienen 1545

Gleichungen 5. Grades und höher. Lösungsversuche schlugen fehl.
Dazu benötigte man fortgeschrittene Techniken der Algebra.
Vorarbeiten von Niels Henrik Abel, Ruffini erst 1826
Genauere Antwort, wann Gleichungen durch Radikale lösbar sind, gab 1832 Évariste Galois.

Die gefundenen Formeln haben heutzutage keine Bedeutung mehr, aber die Anstrengungen dazu haben die Algebra gewaltig beflügelt.