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Die Vollständigkeit der reellen Zahlen

Eine Intervallschachtelung ist eine Folge von Intervallen [an,bn] mit
a ≤ a ≤ a ≤ ...  ... ≤ b ≤ b ≤ b 
 1   2   3              3   2   1 

lim (b - a ) = 0
n→∞   n   n
z ist Zentrum der Intervallschachtung wenn ∀n∈ℕ:

a ≤ z ≤ b   (∀="Für alle")
 n       n
Satz: Jede Intervalleschachtelung besitzt genau ein Zentrum z∈ℝ.
Wichtig: "z∈ℝ", da ℝ vollständig ist. ℚ ist nicht vollständig.

Grenzwerte von Folgen

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lim a  = a ⇔ ∀ ε〉0 ∃n∈ℕ so, dass ∀m〉n gilt |a  - a |〈ε. 
n→∞  n                                             m

                         (∀="Für alle", ∃="existiert")

               1
Beispiel: lim  — = 0
          n→∞ √n

                                    1      1        
Beweis: Sei ε〉0. Dann ist für alle m〉——:  |—— - 0| 〈ε qed 
                                     2    √m      
                                    ε              
(qed = "quod erat demonstrantum")

Stetigkeit von Funktionen

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Eine Funktion ist im Punkte x stetig, wenn lim f(x) = f(x ).
                             0             x→x           0     
                                              0 
Beispiel für eine unstetige Funktion: Die Treppenfunktion:

        1         1
f(x) = [—x] = int(—x) 
        3         3 
                       ↑y  
                       | 
                       2                                   ×—————————
                       |           
                       |         
                       |   
                       1                 ×—————————————————o
                       |
                       |
                       |
—————|—————|—————|—————×—————|—————|—————o—————|—————|—————|—————|——→x
    -3    -2    -1     |     1     2     3     4     5     6     7
                       |  
                       | 
                       |  
     ×—————————————————o 

Die Funktion f ist unstetig bei x = ... -6, -3, 0, 3, 6, 9, ...
                                 0

Weiteres Beispiel: die Sägezahnfunktion f(x)=x-[x]
Was für unvorhersehbare Folgen unstetige Funktionen haben, kann hier... (Murphy's 246. Gesetz) nachgelesen werden.

Ableitungen

                      f(x+h)-f(x)
Definition f'(x)= lim ——————————— (= Grenzwert der Sekantensteigungen)
                  h→0     h


                                2  2           
               2           (x+h) -x      
Beisiel: f(x)=x   f'(x)=lim———————— =lim (2x+h) = 2x
                        h→0   h      h→0       

Taylorreihen

Quelle


              f'0)    2  f''(0)   3 f'''(0)
f(x)=f(0) + x·———— + x ·—————— + x ·——————— + ... 
               1!        2!           3!
Beispiele:
      x          x           x        0
f(x)=e , f'(x)= e  , f''(x)=e , ..., e = 1 ⇒

              2    3 
 x      x    x    x
e = 1 + —— + —— + —— + ... 
        1!   2!   3!

(4) f(x)=sin(x), f'(x)=cos(x), f''(x)=-sin(x), f'''(x)=-cos(x), f (x) =sinx, ... mit sin(0)=0 und cos(0)=1 folgt 3 5 7 x x x sin(x) = x - —— + —— - —— + ... 3! 5! 7!
2 4 6 x x x cos(x) = 1 - —— + —— - —— ... 2! 4! 6!
Die abkürzende Darstellung exp(iφ)=cis(x)=cos(φ)+i·sin(φ) leitet sich her von der Reihenentwicklungen.
               2     3    4
 iφ           φ     φ    φ 
e  = 1 + iφ - —— -i —— + —— + ...
              2!    3!   4!

            2    4 
           φ    φ
cos(φ)=1 - —— + —— - ...   
           2!   4!

            3    5 
           φ    φ
sin(φ)=x - —— + —— - ...   
           3!   5!