Mengenlehre

Grundbegriffe

a∈M ("a ist ein Element von M")
A⊂B ("A ist Teilmenge von B") ⇔_Def ∀a∈A: a∈B
A∩B = {x|x∈A und x∈B} ("Schnittmenge")
A∪B = {x|x∈A oder x∈B} ("Vereinigungsmenge")
M\A = {x|x∈M: x∉A} ("Differenzmenge oder - falls A⊆M - Komplementmenge")

Mächtigkeit

ℕ ℤ und ℚ sind abzählbar / ℝ ist überabzählbar (siehe hier)

Beweisschema der vollständigen Induktion

Siehe unten: Peano-Axiome. Lektion...

Nicht wichtig (Man sollte aber mal was davon gehört haben)

Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre (1930)

Nach dem Auftreten von Antinomien der Mengenlehre (Bertrand Russell, 1901, R={x|nicht x∈x} wurde die Mengenlehre axiomatisiert.
In ZF wird die Gleichheit, leere Menge, Paarmenge, unendliche Menge, Potenzmenge usw. axiomatisch gefordert.
In ZFC wird noch das Auswahlaxiom (siehe unten) dazu genommen.

Peano-Axiome für ℕ

I 1∈N                         
                                    N→N        
II Es gibt eine Nachfolgefunktion;  n→n', so dass für alle n,m∈N gilt:

  a) n'≠1

  b) n'=m' nur für n=m 

III Induktionsprinzip:

Gilt eine Aussage für n=1 und mit n auch für n', dann gilt sie für alle n∈N

Auswahlaxiom

Das Auswahlaxiom ist ein Axiom der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre.


Axiom: Sein M  eine Menge von nicht leeren Mengen M , i∈I. 
             I                                     i       
       
Dann existiert eine Menge {a | a ∈ M } 
                            i   i   i                              

Es wird also aus jeder Menge M  ein Element a  ausgewählt.
                              i              i

Kurt Gödel bewies 1934, dass das Auswahlaxiom keinen Widerspruch innerhalb der axiomatischen Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre auslösen kann.
Damit (genauer: mit dem gleichwertigen "Zornschen Lemma" wird zum Beispiel bewiesen, dass jeder Vektorraum eine Basis besitzt.