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Mengenlehre
Grundbegriffe
- a∈M ("a ist ein Element von M")
- A⊂B ("A ist Teilmenge von B") ⇔Def ∀a∈A: a∈B
- A∩B = {x|x∈A und x∈B} ("Schnittmenge")
- A∪B = {x|x∈A oder x∈B} ("Vereinigungsmenge")
- M\A = {x|x∈M: x∉A} ("Differenzmenge oder - falls A⊆M - Komplementmenge")
Mächtigkeit
ℕ ℤ und ℚ sind abzählbar / ℝ ist überabzählbar (siehe
hier)
Beweisschema der vollständigen Induktion
Siehe unten: Peano-Axiome.
Lektion...
Nicht wichtig (Man sollte aber mal was davon gehört haben)
Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre (1930)
Nach dem Auftreten von Antinomien der Mengenlehre (Bertrand Russell, 1901, R={x|nicht x∈x} wurde die Mengenlehre axiomatisiert.
In ZF wird die Gleichheit, leere Menge, Paarmenge, unendliche Menge, Potenzmenge usw. axiomatisch gefordert.
In ZFC wird noch das Auswahlaxiom (siehe unten) dazu genommen.
Peano-Axiome für ℕ
I 1∈N
N→N
II Es gibt eine Nachfolgefunktion; n→n', so dass für alle n,m∈N gilt:
a) n'≠1
b) n'=m' nur für n=m
III Induktionsprinzip:
Gilt eine Aussage für n=1 und mit n auch für n', dann gilt sie für alle n∈N
Auswahlaxiom
Das Auswahlaxiom ist ein Axiom der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre.
Axiom: Sein M eine Menge von nicht leeren Mengen M , i∈I.
I i
Dann existiert eine Menge {a | a ∈ M }
i i i
Es wird also aus jeder Menge M ein Element a ausgewählt.
i i
Kurt Gödel bewies 1934, dass das Auswahlaxiom keinen Widerspruch innerhalb der axiomatischen Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre auslösen kann.
Damit (genauer: mit dem gleichwertigen
"Zornschen Lemma" wird zum Beispiel bewiesen, dass jeder Vektorraum eine Basis besitzt.