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Äquivalenzrelation

Eine Relation ∼ heißt Äquivalenzrelation, wenn folgendes gilt: Sei ∼ eine Äquivalenzrelation auf der Menge M. Dann ist für a∈M die Äquivalenzklasse von a die Menge
A(a)={x∈M|x∼a}. Ein Repräsentantensystem ist eine Teilmenge von M, die für jede Äquivalenzklasse genau ein Element enthält.

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Gruppen

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Multiplikativ geschrieben (oft mit "Kringel", *, · usw. geschrieben. (G,⋅) heißt Gruppe, wenn für die Verknüfung ⋅ gilt:
Additiv geschrieben:
(G,+) heißt Gruppe, wenn für die Verknüfung ⋅ gilt: Beispiele: (ℤ,+), (ℚ\0.⋅), S5 bez. Hintereinanderausführung, für ς:=cis(72°) die Menge {1,ς,ς23, ς4 bez."⋅".

Mehr: I... . II... . III...

Ringe

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(R,+,⋅) heist Ring, wenn gilt: Beispiel: ℚ[X]=Der Polynomring mit Eins und ohne Nullteiler, Matrizenringe, alle Körper

Körper

Mehr: I... . II...

(K,+,·) ist ein Körper, wenn gilt: Beispiele: ℚ⊂ℝ⊂ℂ
ℚ(√2,√3)={a+b√2+c√3+d√6). Dieser Körper kann als Vektorraum über ℚ mit der Dinension 4 betrachtet werden, sein Rang über ℚ ist deshalb 4.
Nebenbei bemerkt:

Endliche Körper

Satz: Endliche Körper sind genau die Körper mit pn Elementen, wobei p Primzahl ist und n∈ℕ.
Diese Körper sind bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.
Man spricht deshalb von dem Galois-Körper GF(pn) ("Galois Field") (hat mit Galoistheorie wenig zu tun.)
Die Körper GF(2n) spielen in der Informatik eine große Rolle (Kryptografie, Fehlerkorrigierende Codes usw.).
GF(pn) ist der Körper der Restklassen ganzer Zahlen modulo p.

Charakteristik = 0

In Körper K mit char(K)=0 sind Körper, bei denen n·1=1+1+..+1≠0 ist alle n∈ℕ ist. Man kann also n·1 mit n identifizieren. Damit ist ℕ und somit auch ℚ Teilkörper von K. Offensichtlich ist ℚ der kleinste Teilkörper - genannt Primkörper - von K.
Man kann sagen: char(K)=0 ⇔ ℚ ist Teilmenge von K (bei Identifikation von n·1 mit 1).
Im anderen Fall ist K isomorph zu ℤp = ℤ/pℤ.

Körpererweiterungen

I... . II...

Der Zerfällungskörper des Polynoms X3-2∈ℚ[X] ist mit dem Grad 3 über ℚ:
  3—                             3—              3—
ℚ(√2,cis(120°)) = {a+b·cis(120°)·√2+c·cis(240°)·√2|a,b,c∈ℚ} 

                                                             2πi
                                                             ———  
                    2π                               2πi      3
wobei cis(120°)=cis(——) = cos(120°)+isin(120°) = exp(———) = e
                     3                                3   

Vektorräume

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Lineare Algebra

Ein Vektorraum (V,+,·) über einem Körper K ist eine abelsche Gruppe (V,+), in der noch eine S-Multiplikation definiert ist mit folgenden Eigenschaften:
  
Die S-Multiplikatione (skalare Multiplikation) eines Vektors mit einem Skalar ist nicht zu verwechseln mit dem Skalarprodukt zweier Vektoren.
Beispiele für Vektorräume sind ℝ, ℝ2,ℝ3,ℝ4, ..., und der Polynomraum ℝ[X].