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Numerische Berechnung von Nullstellen

Intervallhalbierungsverfahren

Beispiel: Die Nullstelle von f(x)=x3-2 ist zu bestimmen
f(1)=-1, f(2)=6 Also liegt die Nullstelle im Intervall [1;2] Mittelwert: 1,5
f(1,5)=1,375 Also liegt die Nullstelle im Intervall [1;1,5] Mittelwert 1,25
f(1,25)=-0,047 Also liegt die Nullstelle im Intervall [1,25;1,5] Mittelwert 1,3125
f(1,3125=0,26 Also liegt die Nullstelle im Intervall [1,25;1,3125] Mittelwert 1,28 ...
         
             3—
Genauer Wert √2 = 1,2599...

Newtonverfahren

Quelle

Hier benötigt man die Gleichung der Tangente: y=f(x0)+f'(x0)(x-x0) Beispiel: Die Nullstelle von f(x)=x3-2 ist zu bestimmen.
Man hat einen ersten Näherungswert: f(1)=-1. Nun Bringt man die Tangente im Punkt P(1|-1) mit der x-Achse zum schneiden.
f(x)=x3-2 ⇒ f'(x)= 3x, f'(1)=3. Tangentengleichung y=3x-4.
Schnittpunkt der Tangent mit der x-Achse: x:=1,333. Tangente in P(1,333|0,368) ist y=0,368+4(x-1,333)
Schnittpunkt der Tangent mit der x-Achse: x=1,241
Exakter Wert: 1,2599