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Linear unabhängig

             →  →       → 
Die Vektoren a, b, ..., c  heißen linear unabhängig, wenn gilt
  →     →           →    →     
x·a + y·b + ... + z·c  = 0 ⇒ x=0, y=0 ..., z=0.

Beispiel

→    1   →    0   →    0
e = (0)  e = (1), e = (0) sind linear unabhängig
 1   0    2   0    3   1

→    1   →    0   →    1
a = (1)  b = (1), c = (1) sind linear unabhängig
     0        1        1


→    1   →    0   →    1
a = (1)  b = (1), c = (4) sind linear abhängig
     0        1        3

Dimension

Ein Vektorraum V hat die Dimension n, wenn es n linear unabhängige Vektoren gibt und jeder Vektor aus V als Linearkombinatione dieser Vektoren darstellbar ist.

 2   a        
ℝ ={( )|a,b∈ℝ} und ℂ =[a+ib|a,b∈ℝ} haben die Dimension 2
     b
       
      
 4 
ℚ = {(a,b,c,d)|a,b,c,d∈ℚ} hat die Dimension 4 

Lineare Abbildungen bei Vektorräumen

Bei Vektorräumen gibt es eine Addition und eine Multiplikation mit Skalaren.
Seien V und W Vektorräume über K (z.B. ℚ oder ℝ).
Eine Abbildung f von V auf W ist eine lineare Abbildung, wenn gilt:

f(u+v)=f(u)+f(v) für alle u, v∈V und
 
f(k·u)=k·f(u) für alle u∈V und k∈K
 

Zum Beispiel ist im Vektorraum ℝ² die Drehung eine Lineare Abbildung.

  x     cos(45°) -sin(45°)  x 
f( ) = (                  )( )
  y     sin(45°)  cos(45°)  y

äää

Matrix, Determinante

Ist die Basis des Vektorraumes gegeben, können Lineare Abbildungen durch Matrizen dargestellt werden.

            2  1  3  1    13
Beispiel: (-1  2  1)(2) =( 6)
            3 -1  2  3     7

    a c
det(   ) = ad-bc. Satz: det ≠ 0 ⇒ Abbildung ist umkehrbar.
    b d

                  2 3                -1    2 -3
zum BeispieL A = (    ) det(A)=1 ⇒ A   = (     ) Quelle
                  1 2                      -1 2

Die allgemeine lineare Gruppe eines Vektorraumes

FLA 13

Ist V ein Vektorraum über K, so ist definiert die allgemeine lineare Gruppe von V:

GL(V):=Die Menge aller Isomorphismen von V

Die Elemente von GL(ℝⁿ) sind die invertierbaren nxn-Matrizen.

FLA 13
Siehe auch hier...

Beispiel eines Automorhismus

Die Soiegelung an der ersten Winkelhalbierenden 

mit anschließender Streckung mit dem Faktor 2.

     1     0        0     2            0  2
e = ( ) → ( )  e = ( ) → ( )   Matrix (    ) 
 1   0     2    2   1     1            2  0

                -λ  2     2
Eigenvektor det(     ) = λ - 4 =0  ⇒ λ = 2 und λ = -2
                 2 -λ                  1         2 

                     0 2  a      a                                         →    1
Eigenvektor zu λ :  (   )( ) = 2( ) ⇒ a=2b und b=2a ⇒ a+b=0 z.B a=1 b=-1  v = ( )
                1    2 0  b      b                                              -1
                                     
                                 →    1    
Entspechend: Eigenvektor zu λ    v = ( )             
                             2        1   

Charakteristik eines Körpers

char(K)=0 falls für alle n∈ℕ: n·1=≠0, sonst = dem kleinsten n mit n·1=0.
Dann ist n eine Primzahl
Beweis: Falls nicht p·q·1=0 ⇒ (p·1)·(q·1)=0. Körper haben keine Nullteiler, also: p:=p·1=0 odr q=q·1=0

Beispiel ℚ, ℝ und ℂ haben die Charakteristik 0

      — — — — —                              — — — — —   — 
ℤ/ℤ ={0,1,2,3,4} hat die Charakreistik 5, da 1+1+1+1+1 = 0
   5

weiter

BAE behandelt nur Körper mit der Charakteristik 0.

Quaternionen

In GL(2,ℝ) = GL(ℝ²) bilden die folgenden Matrizen eine (Unter-)Gruppe, die Quaternionengruppe:

   1 0     i  0       0 1          0 i  
E=(   ), I(    ), J=(     ) und K=(   )    
   0 1     0 -i      -1 0          i 0

E*E=E I*I=-E, J*J=-E K*K=-E I*J=K J*I=-K / I*K=-J K*I=J / J*K=I K*J=-I /I*J*K=-E
Der in GL(2,ℝ) von E, I J und K erzeugte Schiefkörper heißt Quaternionenkörper H. (Die Multiplikatioen ist nicht kommutativ.)
Schreibweise H={a+bi+cj+dk|a,b,c,d∈ℝ}.
Der bekannteste Anwendungsfall für Quaternionen sind die Maxwell-Gleichungen zur Beschreibung des Elektromagnetismus.

Eigenwerte

Der Skalar λ heißt Eigenwert des Endomorphismus (meist Automorphismus), wenn gilt:

                     →        →   →
Es gibt einen Vektor v mit f(v)=λv  

→
v heißt dann Eigenvektor.
                                
                               2 0  0
Die Abbildung mit der Matrix ( 0 3  0) hat die Eigenwerte 2, 3 und -1.
                               0 0 -1

Satz: λ ist Eigenwert, wenn det(f-λid)=0.

Mit allgemeinen λ, liefert det(f-λid) das charakteristische Polynom. 

              -1-λ  6        2
Beispiel: det(          ) = λ -3λ+2 =0 liefert λ =1 und λ =2
               -1   4-λ                         1        2
                         3       2
Eigenvektoren sind dann ( ) und ( ). Nämlich 
                         1       1 
 -1 6  3     3        -1 6  2      4
(    )( ) = ( ) und  (    )( ) = (  )
 -1 4  1     1        -1 4  1      2