→ → → Die Vektoren a, b, ..., c heißen linear unabhängig, wenn gilt → → → → x·a + y·b + ... + z·c = 0 ⇒ x=0, y=0 ..., z=0.
→ 1 → 0 → 0 e = (0) e = (1), e = (0) sind linear unabhängig 1 0 2 0 3 1 → 1 → 0 → 1 a = (1) b = (1), c = (1) sind linear unabhängig 0 1 1 → 1 → 0 → 1 a = (1) b = (1), c = (4) sind linear abhängig 0 1 3
2 a ℝ ={( )|a,b∈ℝ} und ℂ =[a+ib|a,b∈ℝ} haben die Dimension 2 b 4 ℚ = {(a,b,c,d)|a,b,c,d∈ℚ} hat die Dimension 4
x cos(45°) -sin(45°) x f( ) = ( )( ) y sin(45°) cos(45°) yäää
2 1 3 1 13 Beispiel: (-1 2 1)(2) =( 6) 3 -1 2 3 7 a c det( ) = ad-bc. Satz: det ≠ 0 ⇒ Abbildung ist umkehrbar. b d 2 3 -1 2 -3 zum BeispieL A = ( ) det(A)=1 ⇒ A = ( ) Quelle 1 2 -1 2
FLA 13
Ist V ein Vektorraum über K, so ist definiert die allgemeine lineare Gruppe von V:GL(V):=Die Menge aller Isomorphismen von V
Die Elemente von GL(ℝn) sind die invertierbaren nxn-Matrizen.FLA 13
Siehe auch hier...
Die Soiegelung an der ersten Winkelhalbierenden mit anschließender Streckung mit dem Faktor 2. 1 0 0 2 0 2 e = ( ) → ( ) e = ( ) → ( ) Matrix ( ) 1 0 2 2 1 1 2 0 -λ 2 2 Eigenvektor det( ) = λ - 4 =0 ⇒ λ = 2 und λ = -2 2 -λ 1 2 0 2 a a → 1 Eigenvektor zu λ : ( )( ) = 2( ) ⇒ a=2b und b=2a ⇒ a+b=0 z.B a=1 b=-1 v = ( ) 1 2 0 b b -1 → 1 Entspechend: Eigenvektor zu λ v = ( ) 2 1
Beispiel ℚ, ℝ und ℂ haben die Charakteristik 0 — — — — — — — — — — — ℤ/ℤ ={0,1,2,3,4} hat die Charakreistik 5, da 1+1+1+1+1 = 0 5 weiterBAE behandelt nur Körper mit der Charakteristik 0.
1 0 i 0 0 1 0 i E=( ), I( ), J=( ) und K=( ) 0 1 0 -i -1 0 i 0E*E=E I*I=-E, J*J=-E K*K=-E I*J=K J*I=-K / I*K=-J K*I=J / J*K=I K*J=-I /I*J*K=-E
→ → → Es gibt einen Vektor v mit f(v)=λv → v heißt dann Eigenvektor. 2 0 0 Die Abbildung mit der Matrix ( 0 3 0) hat die Eigenwerte 2, 3 und -1. 0 0 -1 Satz: λ ist Eigenwert, wenn det(f-λid)=0. Mit allgemeinen λ, liefert det(f-λid) das charakteristische Polynom. -1-λ 6 2 Beispiel: det( ) = λ -3λ+2 =0 liefert λ =1 und λ =2 -1 4-λ 1 2 3 2 Eigenvektoren sind dann ( ) und ( ). Nämlich 1 1 -1 6 3 3 -1 6 2 4 ( )( ) = ( ) und ( )( ) = ( ) -1 4 1 1 -1 4 1 2