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Körpererweiterungen

Körpererweiterungen von ℚ

durch Adjunktion von algebraischen Zahlen

Fragen: Was heißt Körpererweiterung L des Körpers K? ...
Was heißt Zerfällungskörper des Polynoms über dem Körper K ...
Welche reelle Zahlen sind algebraisch über ℚ und welche transzendent? ...

I ℚ(√2) = {a+b2|a,b∈ℚ} hat den Grad 2 über ℚ.
Beweis: 1 und √2 sind linear unabhängig, denn

        —                  —    a
aus a+b√2=0 und b≠0 folgt √2 = -—∈ℚ, Wiederspruch, also b=0 und damit auch a=0.
                                b 
      —  —       —   —   —           
II ℚ(√2,√3) {a+b√2+c√3+d√6|a,b,c,d∈ℚ} hat den Grad 4 über ℚ.

                                                            n
III Jede Körpererweiterung mit Quadratwurzeln hat den Grad 2  für n∈ℕ.

    Folgerung: Jede in ℂ mit Zirkel und Lineal konstruierte Zahl führt 

    zu einer Körpererweiterung mit dem Rang einer Zweierpotenz. (BAE 178)


      3—      3—  3— 
IV ℚ(√2)={a+b√2+c√4|a,b,c|a,b,c∈ℚ} hat den Grad 3 über ℚ.

Adjunktion einer Nullstelle eines irreduzieblen Polynoms

Quelle

Ist der Grad von f gleich 5 (allgemein gleich n), so lassen sich die Elemente x von K(ξ) mit der Nullstelle ξ von f eindeutig darstellen als

                2      3      4
x:=a + a ·ξ+a ·ξ + a ·ξ + a ·ξ
    0   1    2      3      4

Der Grad von K(ξ) über K ist 5.

Wichtige Anwendungen der Galoistheorie

Einführung BAE S.X

           5
Beispiel: x + 15x - 44 = 0
                                            5———   5————
mit den Lösungen x , x , x , x  und x  , x =√... + √ ... + ... , x =...
                  1   2   3   4      5    1                       2 

wobei unter der 5. Wurzel noch weitere Wurzeln stehen.

Die von Galois zu einer gegebenen Gleichung konstruierte Gruppe kann auf Basis der zwischen den Lösungen in Form von Identitäten wie beispielsweise

 2 
x = x + 2
 1   2

definiert werden. Zur Galois-Gruppe gehören alle Permutationen von S₅, für die eine Identität auch nach Umnummerierung bestehen bleibt.

                   1 2 3 4 5
Die Permutation σ=(         ) =(1→2) (eine Transposition)
                   2 1 3 4 5

gehört nur dann zur Galoisgruppe, wenn auch die Identität

 2 
x = x + 2 gilt.
 2   1

Wichtig: Die Galoisgruppe kann auch ohne Kenntnis der Nullstellen bestimmt werden, nur mit Hilfe der Koeffizienten des Polynoms. Die Galoisgruppe hier besteht aus 10 Elementen.

In der Galoistheorie wird versucht, durch Adjunktion von Wurzeln den Körpers ℚ immer mehr zu erweitern, bis die zugehörige Untergruppe der Galoisgruppe nur noch die Identität enthält.

Galoisgruppen als Untergruppen von S₅

S₅ hat 120 Elemente.
Die Kommutatorgruppe A₅ hat 60 Elemente.
Diese beiden Gruppen sind nicht auflösbar.

Die Untergruppen von S₅ mit 5, 10, 15, 20 und 30 Elementen sind auflösbar.

Nichtlösbarkeit einer Polynomgleichung 5. Grade

Satz: Eine allgemeine Polynomgleichung fünften oder höheren Grades ist nicht durch Radikale, d. h. Wurzelausdrücke, auflösbar.

Quelle

Unter Verwendung der allgemeineren Resultate der Galoistheorie müssen zum Beweis des Satzes nur zwei Punkte gezeigt werden:
1. Die allgemeine Gleichung fünften Grades besitzt als Galoisgruppe die symmetrische Gruppe S₅.
2. Die symmetrische Gruppe S₅ ist nicht auflösbar, denn sie enthält als einzigen echten Normalteiler die alternierende Gruppe A₅ von der Ordnung 60, und diese ist einfach (besitzt keine nichttrivialen Normalteiler) und ist nicht von Primzahlordnung.

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