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Kreisteilung (FLAN S.404)

Bsp.: x5 = 1 = cis(360°)
⇒ x = ζ = cis(72°)
Weitere Lösungen:
ζk = cis(k·72°)
(k∈ℤ5)
ζ-1=ζ4
ζ+ζ4=2cos(72°)∈ℝ
(also reell) 

          √5-1 
cos(72°)= ————
           4

5_eck 
                 2π
Sei ζ = ζ  = cis(————) die n-te Einheitswurzel über ℚ.
         n        n
                          2   2   2        n-1             k
Dann ist Ψ: ℤ  → C = {1, ζ , ζ , ζ , ... ,ζ   }  mit Ψ(k)=ζ  fürk=0,2,..,n-1
             n    n

ein Isomorphismus einer additiven in eine multiplikative Gruppe C .
                                                                 n

Faktoren von xn-1

Stets: xn-1=(x-1)(xn-1+xn-2+...x2+x+1).
x2-1:=(x+1)(x-1) NS 1,-1
x3-1=(x-1)(x2+x+1) NS 1,i,-i [cis(360°/3:ℚ]=2
x4-1=(x2-1)(x-1)(x+1) NS 1,i,-1,-i [cis(360°/4:ℚ]=2
x5-1=(x-1)(x4+x3+x2+x+1) NS 1 und Potenzen von cis(72°) [cis(360°/5:ℚ]=4
x6-1=(x-1)=(x-1)(x+1)(x2+x+1)(x2-x+1) NS 1, cis(60°), cis(120°), -1, cis(240°), cis(300°) [cis(360°/6:ℚ]=2
x7-1=(x-1)(x6+x5+x4+x3+x2+x+1) [cis(360°/7:ℚ]=6
x8-1=(x-1)(x+1)(x2+1)(x4+1) NS , cis(45°), i, cis(135°), -1, cis(-135°), -i, cis(-45°) [cis(360°/8:ℚ]=4
x9-1=(x-1)(x2+x+1)(x6+x3+1) [cis(360°/9:ℚ]=8
x10-1=(x-1)(x+1)(x4+x3+x2+x+1)(x4-x3+x2-x+1) [cis(360°/10:ℚ]=4 ...
Da bei einem kontruierbaren n-Eck [[cis(360°/n:ℚ] eine Zweierpotenz sein muss, ist hier zu sehen:
Alle hier aufgeführten n-Ecke sind kontruierbar, bis auf das 7-Eck.

Die erzeugenden Elemente

Wir betrachten diese in ℤn. Das spieglt sich dann auch in Cn. 

In ℤ = {0,1,2}, ℤ = {0,1,2,3,4}, ℤ (p Primzahl) sind alle Elemente ≠0 Erzeugende.
    3            5                p
                                                                        —
(Der Bequemlichkeit halber sind die Überstriche wegggelassen. Bsp:  2 = 2 = 2+2ℤ.)

In ℤ  zum Beispiel ist 2·3≡1, 3·3≡4, 4·3≡2, 5·3≡0 (mod 5) 
    5                                                        

⇒ <3> = {0, 3, 2·3=1, 3·3=4, 4·3=2} = ℤ . (<...> =Erzeugende Untergruppe).
                                        5

              3         3   6       9   4   12   2
Entsprechen <ζ > = {1, ζ , ζ = ζ , ζ = ζ, ζ   = ζ } = C .
              5         5   5   5   5      5     5     n

Aber in Z erzeugt nicht jedes Element ≠0 die ganze Gruppe.
         6   

<1>={0,1,2,3,4,5}=Z =‹5› aber ‹2›={0,2,4}=‹5›, ‹3›={0,3}
                   6


Satz: ℤ = ‹m› ⇔ ggT(n,m)=1 ⇔ m hat ein multiplikatives Inverses.
       n
Hier kommt die Eulersche φ-Funktion ins Spiel.

Die Anzahl der erzeugenden Elemente ist φ(n).

Das gilt in jeder zyklischen Gruppe {1,a,a2,a3,...,an)} bzw. in ℤn.

Die Eulersche φ-Funktion

Definition: φ(n) = Anzahl der zu n teilerfremden Zahlen aus {1,2,...,n}
Nebenbei bemerkt:
Sind [a : K] und [b : K] teilerfremd, so gilt [K(a,b) : K] = [a : K] · [b : K].
Also φ(n) = |{m∈ℕ|1≤m≤n und ggT(m,n)=1}|.
φ(1) = 1, φ(2) = 1, φ(3) = 2, φ(4) = 2, φ(5) = 4, φ(6) = 2, φ(7) = 6, φ(8) = 4, φ(9) = 6, φ(10) = 4,
φ(11) = 10, φ(12) = 4, φ(13) = 12, φ(14) = 6, φ(15) = 8, φ(16) = 8, φ(17) = 16, φ(18) = 6, φ(19) = 18, ...
Allgemein: φ(p) = p-1 für eine Primzahl p.
Für Zahlen m,n mit ggT(m,n)=1 ist φ(m·n) = φ(m)φ(n).
p Primzahl ⇒ φ(pk)=pk-1(p-1) (k≥1)
Beispiel: φ(5)=4, φ(25)=5·4=20, φ(125)=25·4=100
n=pk·ql für 2 Primzahlen p und q ⇒ φ(n) = pk-1(p-1)·ql-1(q-1) (k,l≥1), ...
Ist G eine Gruppe, so wird mit G× die Menge aller erzeugenden Elemente von G bezeichnet.
(FLAN 87) Zum Beispiel ist für ℤ30={0,1,2,...,29}
ℤ30×={1,7,11,13,17,19,23,29} und enthält φ(30)=8 Elemente.

Konstruierbarkeit des n-Ecks

Folgende Aussagen für n≥3 sind äquivalent: (Quelle: WP) Ist ggT(m,n)=1 und das m-Eck sowie das n-Eck konstruierbar, dann auch wegen φ(nm)=φ(n)φ(m) das nm-Eck.
Für ζn:=cis(360°/n) ist [ℚ(ζn):ℚ]=φ(n)
Satz: Ist p eine Primzahl mit p›2 und p-1 eine Potenz von 2, so ist 
        
      2n
   p=2 + 1 mit n∈ℕ
Beweis: Ist p=2m+1, so ist zu zeigen: m=2n. Siehe FLAN 448 (längere Rechnung). ∎

Primitive Einheitswurzeln

Wir betrachten für n∈N und ζ=cis(360°/n) die Gruppe G={1,ζ,ζ2,ζ3,...,ζn-1} der n-ten Einheitswurzeln.
Eine Einheitswurzel ζk (k=1,2,...,n-1}, deren Potenzen die ganze Gruppe G erzeugt, heißt primitiv.
z ist also primitive Einheitswurzel, wenn für alle Potenzen zk≠1 ist (k=1,2,...n-1).
Ist p eine Primzahl, so sind alle Einheitswurzeln ζ≠1 primitiv.
Bei allgmeinen n sind genau φ(n) Elemente der Gruppe primitiv.

Beispiel: Das regelmäßige 6-Eck

φ(6) = 2. ζ=cis(60°), ζ2=cis(120°), ζ3=cis(180°)=-1, ζ4=cis(240°), ζ5=cis(300°), ζ6=cis(360°)=1.
Die Potenzen von ζ=cis(60°) erzeugen die ganze Gruppe {cis(k·60°)|k=0,1,2,3,4,5}
Die Potenzen von ζ2=cis(120°) erzeugen die Untergruppe {1, cis(120°), cis(240°)}
Die Potenzen von ζ3=cis(180°) erzeugen die Untergruppe {1, cis(180°)}={1,-1}
Die Potenzen von ζ4=cis(240°) erzeugen die Untergruppe {1, cis(120°), cis(240°)}
Die Potenzen von ζ5=cis(300°) erzeugen die ganze Gruppe {cis(k·60°)|k=0,1,2,3,4,5}
Es gibt also nur zwei primitive Elemente in dieser Gruppe.
Das Minimalpolynom von ζ=cis(60°) ist also vom Grade 2. Es handelt sich hier um x2-x+1.
Zusammenfassung: 
  1 1  —   2  1 1  —    3        4  1 1  —    5 1 1  —   6  0
ζ=—+—i√3, ζ =-—+—i√3,  ζ = -1,  ζ =-—-—i√3,  ζ =—-—i√3, ζ =ζ =1
  2 2         2 2                   2 2         2 2
     
                                     5     2                         
Minimalpolynom von ζ ist Φ =(x-ζ)(x-ζ ) = x - x + 1) 
                          n  

                 6                  2          2
Faktorisierung: x - 1 = (x-1)(x+1)(x - x + 1)(x + X + 1)
Satz: Die Kreisteilungspolynome Φn sind irreduzibel. Inbesondere ist Φn Minimalpolynom aller primitiven Einheitswurzeln und

|ℚ(ζ):ℚ|=φ(n)
Also |ℚ(ζ6):ℚ|=φ(6)=2.

Das regelmäßige Siebeneck

           2π                                                        6      6·2π
Sei ζ=cis(———). Spiegelt man diesen Wert an der Re-Achse erhält man ζ = cis(—————)
           7                                                                 7
                 6       2π        2  5            2  4 
Die Werte c =(ζ+ζ )=2cos(——), c =(ζ +ζ ) und c = (ζ +ζ ) sind Nullstellen von:
           1              7     2              3
f=X3+X2-2X-1. (Lange Rechnung FLAN 409).
Der Grad von ℚ(cos(2π/7) über ℚ ist demnach 3. Zur Bechnung benötigt man ∛.
Und daraus folgt das berühmte Ergebnis von C.F. Gauß:

Das 7-Eck ist nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar

Nach Cardano ist eine Lösung der Gleichung X3+X2-2X-1 
                                 ————  
     2π    1  14    1         3/   —
2cos(——) = —w+——— - — für w = √28+√3
      7    6  3w    2

Kreisteilungspolynome

(Gradmann S.27): 

Φ =           ∏ (Produkt)            (X-z)
 n  z primitive Einheitswurzel von n
                                   2 
z.B. Φ = (X-cis(60°)(X-cis(5*60°)=X - X + 1
      6

Stets ist Φ ∈Z[t].
           n
Liste der ersten Kreisteilungspolynome: 

Φ = x - 1
 1
     
Φ = x+1
 2 
     2
Φ = x +x+1
 3
     2
Φ = x +1
 4
    4  3  2 
Φ =x +x +x +x+1
 5 
    2
Φ =x -x+1
 6
    6  5  4  3  2  
Φ =x +x +x +x +x +x+1
 7
    4
Φ =x +x+1
 8 
    6  3
Φ =x +x +1
 9
     4  3  2
Φ  =x -x +x -x+1
 10
Satz: Φn ist das Minimaplolynom von cis(360°/n) (Gradmann S.30)
Insbesondere ist dieses Polynom irreduzibel.
Es gilt: Grad Φn = ϕ(n).
Satz |cis(360°/n):ℚ|=ϕ(n) ist Zweiertpozenz, wenn
ϕ(n)=2m·p1· ··· · pr für Primzahlen der Form 
     ai   
     2  
P = 2  + 1.
 i
Im Beweis wird verwendet, dass 2b+1 nur dann Primzahl ist, wenn b eine Zweietpotenz ist. 
 
b  2b+1
1  3        Primzahl
2  5        Primzahl
3  9
4  17       Primzahl
5  33
6  65
7  129
8  257      Primzahl
9  513
10  1025
11  2049
12  4097
13  8193
14  16385
15  32769
16  65537 Primzahl
Wenn das n-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist, muss ϕ(n) Zweierpotenz sein.
Die Umkehrung ist nicht so leicht zu beweisen. Man muss zeigen:
Ist ϕ(n) eine Zweierpotenz, dann muss es eine Kette von Körpererweiterungen
Q=K0 ≤ K2 ≤ K2 ... ≤ Kn = Q(cis(360°/n).
Und das kann man mit Hilfe von Untergruppen der Galoisgruppe beweisen. (Gradmann S.45)