Zurück Bestimmung des Zerfällungskörpers eines Polynoms. Quelle F12T1A5 (a)

Zerfällungskörper des Polynoms x⁵+5

                                       k
(a) Die Nullstellen des Polynoms sind ζ ·α  (k=0,1,2,3,4)

                         5—              5         5
mit ζ = cis(72°) und α = √5cis(36°) mit ζ = 1 und α = -1.

    5—              5—              5—           5—      5—               5—
x = √5cis(36°), x = √5cis(108°), x =√5cis(180°)=-√5, x = √5cis(252°), x = √5cis(324°)  
 1               2                3                   4                5

Der Zerfällungskörper ist K=ℚ(α,ζ). 

b) Das Polynom ist normiert und nach Eisenstein irreduzibel (p=5).

K=Gal(f,ℚ) ist galoisch.

f ist das Minimalpolynom von α über ℚ ⇒ [ℚ(α),ℚ] = grad(f) = 5.

                                                                  4   3   2
Das Minimalpolynom von ζ ist das fünfte Kreisteilungspolynom Φ = x + x + x + x + 1
                                                              5

⇒[Q(ζ) : Q] = grad(Φ ) = ϕ(5) = 4. 
                     5

Folglich: [K:Q] = [K:Q(α)]·[Q(α):Q] = 4 · 5 = 20 (Ausführlic: Siehe Quelle)

c) ⇒ G=Gal(K/Q)=Gal(f,Q) ⊆ S₅ hat 20 Elemente. Wäre G abelsch, dann wäre jede Untergruppe von G Normalteiler. Aber M=Q(α) ist keine normale Erweiterung M|Q, da M mit α nicht alle Nullstellen von f enthält. Folglich ist G nicht abelsch.

d) Behauptung: Die Galoisgruppe hat einen Normalteiler der Ordnung 5.

Der Körper Q(ζ) ist ein Zwischenkörper von K|Q der Ordnung 4.
 
                                                          |G|    20                                                      
Die zugehörige Untergruppe U von G mit U=Gal(K|Q(ζ)) hat ————— = —— = 5 Elemente.
                                                         (G:U)    4

Kreisteilungserweiterungen sind stets normal, also auch Q(ζ)|Q 

⇒U ist Normalteiler der Ordnung 5.