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Beispiel Galoisgruppe von x4-10x2+1 nach WP

Die Nullstellen erhält man über
 4     2
x - 10x + 25 = 24

    2   2
⇒(x -5) = 24

 
    2
⇒ x -5 = ±2√6 

           ————— 
Also x = ±√5±2√6

                       —————                     2
Man kann zeigen, dass √5±2√6 = ±√2±√3, da (√2+√3) = 2 +2√6 + 3. 


Die Nullstellen sind also
x1=√2+√3 x2=√2-√3, x3=-√2+√3 und x4=-√2-√3.
Der Zerfällungskörper über ℚ ist
L=ℚ(√2,√3) = {a+b√2+c√3+d√6|a,b,c,d∈ℚ}.

Zur Galoisgruppe gehören nur die Automorphismen, die die Beziehung x1+x4=0, x2+x3=0, (x1+x2)2-8=0 usw. erhalten.
Dieses sind

        1 2 3 4                 1 2 3 4
e=id p=(       )=(1→2)(3→4), r=(       ) = (1→3)(2→4)
        2 1 4 3                 3 4 1 2


       1 2 3 4
und s=(       ) =(1→4)(2→3)=pr
       4 3 2 1

Zuordnung Permutation → Automorphismus

e=id als Permutation wird zugeordnet id als Automorphismus
p wird zugeordnet π: a+b√2+c√3+d√6→a+b√2-c√3-d√6 mit Fixkörper ℚ(√2)
r wird zugeordnet ρ: a+b√2+c√3+d√6→a-b√2+c√3-d√6 mit Fixkörper ℚ(√3)
s wird zugeordnet σ: a+b√2+c√3+d√6→a-b√2-c√3+d√6 mit Fixkörper ℚ(√6)
Zwischenkörper von L sind ℚ(√2), ℚ(√3) und ℚ(√6).

Gal(f;ℚ) für f=X4+4X2+2

Vergleiche

Nach Eisenstein, angewand auf die Primzahl p=2, ist f irreduzibel über ℚ.
Berechnung der Nullstellen:
             2        —
1. Schritt: x = -2 ± √2

                  ——————      —————
2. Schritt: x = ±√-2± √2 = ±i√2± √2. Also
      
        ————         ————          ————        ———— 
α=x = i√2-√2, x = -i√2-√2, β=x = i√2+√2, x =-i√2+√2
   1           2              3           4

Die Nullstellenmenge ist N={±α ,±β}

                                                            3
Hier bestehen die Beziehunge: x + x = 0, x + x = 0 und x = x - 3x  
                               1   2      3   4         3   1    1
                             
    3             3            3
x =x - 3x , x  = x  - 3x , x =x - 3x . 
 4  2    2   2    3     3   1  4    4


Zur Galoisgruppe gehören die Permutationen, die diese Beziehungen erhalten:

         1 2 3 4     1 2 3 4     1 2 3 4     2     3      4
e=id, a=(       ) b=(       ) c=(       ) b=a , c=a , id=a
         3 4 2 1     2 1 4 3     4 3 1 2    

Es gilt: a(α)=β, a(-α)=-β, a(β)=-α und a(-β)=α.

                                                               2  3  
Die Galosgruppe ist zyklisch und enthält die 4 Elemente {id,a,a ,a }.


Der Zerfällungskörper von f wird von α erzeugt: Gal(f;ℚ)=ℚ(α).

                                    ————   ———— 
? Der Zerfällungskörper ist L={a+bi+c√2+√2+d√2-√2|a,b,c,d∈ℚ}

Die Galoisgruppe von x4-2=0

Quelle

Die Nullstellen sind x1=∜2, x2=i∜2, x3=-∜2 und x4=-i∜2.
Der Zerfällungskörper über ℚ ist ℚ(∜2,i) mit dem Grad [ℚ(∜2,i):ℚ(∜2]·[ℚ(∜2]:ℚ]=2*4=8. (Vergleiche hier).

                                      2  
Die Diskriminante D = Produkt (x - x ) = 147456 ist ein Quadrat und deshalb
                        i≨j     i   j

die Galoisgruppe Untergruppe von A .
                                  4

Zur Galoisgruppe gehören nur die Automorphismen, die die Beziehung x1+x3=0 und x2+x4=0 usw. erhalten.
Als Permutationen geschrieben sind möglicherweise folgende Kandidaten.

           1 2 3 4                1 2 3 4      
e=id, p = (       ) = (1→3), q = (       )  = (2→4) (Spiegelungen)
           3 2 1 4                1 4 3 2  
                                                   

     1 2 3 4                     1 2 3 4                     1 2 3 4   
r = (       ) = (1→2→3→4)), s = (       ) = (1→3)(2→4), t = (       ) = (1→4→3→2) 
     2 3 4 1                     3 4 1 2                     4 1 2 3

                                                        (Drehungen)

     1 2 3 4                     1 2 3 4
u = (       ) = (1→2)(3→4), v = (       ) = (1→4)(2→3)
     2 1 4 3                     4 3 2 1

G={e,p,q,r,s,t,u,v}. Nicht zu G gehört zum Beispiel


         1 2 3 4                                               
    σ = (       ) = (1→3→4→2) , da x3+x4≠0
         3 1 4 2



Gruppentafel: 

 |e|p|q|r|s|t|u|v| 
—————————————————— 
e|e p q r s t u v   
p|p e s u q v r t 
q|q s e v p u t r
r|r v u s t e p q
s|s q p t e r v u 
t|t u v e r s q p
u|u t r q v p e s
v|v r t p u q s e

Kleinste Untergruppe ist natürlich {e} mit 1 Element.
Untergruppen mit zwei Elementen sind {e,p}, {e,q}, {e,s}, {e,u}, {e,v}.
Untergruppen mit 4 Elementen sind {e,p,q,s}, {e,r,s,t}, {e,s,u,v}

       |e|p|q|r|s|t|u|v|    
       —————————————————— 
Invers  e p q t s r u v

Kommutatoren (xyx-1y-1):
pqpq=e prpt=s psps=e ptpr=s pupu=s pvpv=s
qrqt=s qsqs=e qtqr=s ququ=s qvqv=s
rsts=e rttr=e rutu==s rvtu=e
stsr=e susu=e svsv=e 
turu=s tvrv=s
uvuv=e

Kom(G)={e,s}, Kom2(G)={e}. Die Gruppe ist auflösbar.
Das gilt allgemein für alle Gruppen von Primzahlpotenzordnungen. Hier |G]=23.

f=(x3-2)(x2-5)

Quelle

                     3                               2π      1   1
Die Nullstellen von x - 2 sind mit α=∛2∈ℝ und ζ= cis(——) = - — + —i√3
                                                      3      2   2
                        2                       2
x = α, x =αζ  und x = αζ . Die Nullstellen von x - 5 sind x   = ± β mit β=√5.
 1      2          3                                       4,5


Der Zerfällungskörper von f ist dann L = ℚ(x ,x ,x ,x ,x ) = ℚ(ζ,α,β)         
                                            1  2  3  4  5

Bestimmung des Erweiterungsgrades [L:ℚ]: 2 Man beachte: x + x + 1 ist irreduzibel und hat ζ als Nullstelle: Es ist [ℚ(α):ℚ]=3, [ℚ(β):ℚ]=2, [ℚ(α,β):ℚ]=6 und [ℚ(ζ):ℚ]=2 und schließlich [L:ℚ]=12.
Da L Zerfällungskörper von f ist ist L/ℚ die Galoiserweiterung. Sei G=Gal(f,ℚ) die Galoisgruppe. |G|=[L:ℚ]=12. Jedes σ∈G ist eindeutig bestimmt durch σ(ζ), σ(α) und σ(β). 2 σ(ζ) ist Nullstelle von x + x + 1 3 σ(α) ist Nullstelle von x - 2 und 2 σ(β) ist Nullstelle von x - 5. Daraus lassen sich alle Untergruppen von G bestimmen (Siehe Quelle). Man kann zeigen dass γ = 10√5+i∛2√3 ein erzeugendes Element von L/ℚ ist.