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Algebraische Zahlen
Definition: In einer Körpererweiterung L/K heißt ein Element a∈L algebraisch über K, wenn es Nullstelle eines Polynoms mit Koeffizienten aus K ist, anderfalls transzendent.Der Grad eines algebraischen Elementes ist nach Definition der Grad seines Minimalpolynoms (Kunz S.25)
Die algebraischen Zahlen über ℚ bilden einen Körper, d.h. mit zwei algebraischen Zahlen a und b sind auch a+b, a-b, a·b, a/b und a-1 algebraisch. Dieser Körper ist unendlichdimensional, da zum Beispiel für alle n∈ℕ die n-ten Wurzeln dazugehören, aber noch abzählbar.
Beispiele:
a) √2 ist algebraisch vom Grade 2. Sein Minimalpolynom ist X2-2.
X6-1 ist in ℚ nicht irreduzibel. Es ist
Es ist tatsächlich a3+1=0. Beachte aber: Die Zerlegung geht weiter: X3+1=(X+1)(X2-X+1)
Erst für X2-X+1 ist a Nullstelle: a2-a+1=0. Und tatsächlich ist X2-X+1 irreduzibel in ℚ, was die Berechnung der Nullstellen dieses quadratischen Polynoms zeigt.
Also ist hier der Grad von a über ℚ gleich 2.
Zitat Gradmann S. 17:
"Wir sehen an diesem Beispiel schon, dass wir bei der Berechnung eines Minimalpolynoms aufpassen müssen — das Minimalpolynom eines Elements a ist nicht immer das „erstbeste“ oder „einfachste“ normierte Polynom mit Nullstelle a, das einem einfällt!"
a) √2 ist algebraisch vom Grade 2. Sein Minimalpolynom ist X2-2.
2πi 1 1 —
b) a=cis(———) = — +i—√3 (Grundgleichung des 6-Ecks)
6 2 2
a hat X6-1 nicht als Minimalpolynom, obwohl a6-1=0.
X6-1 ist in ℚ nicht irreduzibel. Es ist
X6-1:=(X3-1)(X3+1)
Es ist tatsächlich a3+1=0. Beachte aber: Die Zerlegung geht weiter: X3+1=(X+1)(X2-X+1)
Erst für X2-X+1 ist a Nullstelle: a2-a+1=0. Und tatsächlich ist X2-X+1 irreduzibel in ℚ, was die Berechnung der Nullstellen dieses quadratischen Polynoms zeigt.
Also ist hier der Grad von a über ℚ gleich 2.
Zitat Gradmann S. 17:
"Wir sehen an diesem Beispiel schon, dass wir bei der Berechnung eines Minimalpolynoms aufpassen müssen — das Minimalpolynom eines Elements a ist nicht immer das „erstbeste“ oder „einfachste“ normierte Polynom mit Nullstelle a, das einem einfällt!"
Satz: Sei a algebraisch vom Grade n über ℚ, so ist {1,a,a3,...,an-1} eine Basis des Vektorraumes ℚ(a) und jedes Element von ℚ(a) ist algebraische über ℚ.
Beweis: Gradmann S.18.Zum Beispiel ist Grad [ℚ(√2,√3):ℚ]=4 und ℚ(√2,√3)={a+b√2+c√3+d√6|a,b,c,d∈ℚ}
Das Inverse von zum Beispiel x=3+5√2-7√3+11√6 von der Form y=a+b√2+c√3+d√6.
Maple liefert die Lösung: y=-3681/89234-2773/89234√2+2563/89234√3+2755/89234√6.
Die Probe ergibt hier xy=1.
Berechnung des Minimalpolynoms der algebraischen Zahl γ=∛2+√3.
(Siehe Tutorium S.125): Sei α=∛2 und β=√3. Es ist [ℚ(α):ℚ]=3 und [ℚ(β):ℚ]=2. Man kann zeigen [ℚ(γ):ℚ]=6 (Könnte theoretisch auch kleiner sein). Eine Basis von ℚ(γ) ist {1,α,α2,β,αβ,α2β}.
γ0, γ1, γ2,γ3,γ4,γ5 und γ6 kann man alle in ℚ(γ) in dieser Basis darstellen. Löst man ein Linares Gleichungssystem mit 6 Unbekannten mit Hilfe dieser Potenzen, findet man:
Das Inverse von zum Beispiel x=3+5√2-7√3+11√6 von der Form y=a+b√2+c√3+d√6.
Maple liefert die Lösung: y=-3681/89234-2773/89234√2+2563/89234√3+2755/89234√6.
Die Probe ergibt hier xy=1.
Berechnung des Minimalpolynoms der algebraischen Zahl γ=∛2+√3.
(Siehe Tutorium S.125): Sei α=∛2 und β=√3. Es ist [ℚ(α):ℚ]=3 und [ℚ(β):ℚ]=2. Man kann zeigen [ℚ(γ):ℚ]=6 (Könnte theoretisch auch kleiner sein). Eine Basis von ℚ(γ) ist {1,α,α2,β,αβ,α2β}.
γ0, γ1, γ2,γ3,γ4,γ5 und γ6 kann man alle in ℚ(γ) in dieser Basis darstellen. Löst man ein Linares Gleichungssystem mit 6 Unbekannten mit Hilfe dieser Potenzen, findet man:
x6-9x4-4x3-27x2-36x-23 ist das Minimalpoynom von γ=∛2+√3.
(J.M. hat nachgerechnet und ist der Meinung: Die Autoren haben sich verrechnet.
Beispiel:
ℚ(√2)={a+b√2|a,b∈ℚ}
ℚ(∛2)={a+b∛2 +c∛4|a,b,c∈ℚ}
Um zum Beispiel das Inverse von x=2-3∛2+∛4 zu berechnen setzt man y=p+q∛2+r∛4 und löst xy=1 als lineares Gleichungssystem und erhält als Lösung
x-1=y=-1/2-1/3∛2
ℚ(∛2)={a+b∛2 +c∛4|a,b,c∈ℚ}
Um zum Beispiel das Inverse von x=2-3∛2+∛4 zu berechnen setzt man y=p+q∛2+r∛4 und löst xy=1 als lineares Gleichungssystem und erhält als Lösung
x-1=y=-1/2-1/3∛2