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Körpererweiterungen durch Radikale

Quelle S.6

Definition:
(a) Ist L=K(a) eine einfache Körpererweiterung, so heißt L eine einfache Radikalerweiterung, falls an∈K für n≥2. Man kann sich dies so vorstellen, dass K(a) durch Adjunktion einer n-ten Wurzel entsteht.
(b) L/K ist eine Radikalerweiterung, falls eine endliche Kette von Körpern

k=K0≤K1≤...≤Km=L

gibt, so dass je zwei aufeinanderfolgene Körper in dieser Kette eine einfache Radikalerweiterung ist. Beispiel:
       —                                                —2
(a) ℚ(√2)/ℚ ist eine einfache Radikalerweiterung, da (√2)=2∈ℚ.

                                                   ————  
                                              —   /   — 
(b) Eine zweistufige Körpererweiterung ist ℚ(√2),∛1+√2)/ℚ

                                                     —
    im zweiten Schritt wird die dritte Wurzel von 1+√2 adjungiert.

Definition: Ein Polynom heißt auflösbar, wenn sein Zerfällungskörper eine Radikalerweiterung ist.

Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal

Wir gehen aus von dem Körper ℚ(i)={a+bi|a,b∈ℚ}. Der Punkt z∈ℂ ist genau dann mit Zirkel und Lineal kontruierbar, wenn es eine Kette von Körpererweiterungen

ℚ(i)=K0≤K1≤...≤Km=L

gibt, so dass jeder Körper dieser Kette durch Adjunktion einer Quadratwurzel aus dem vorhergenden Körper entsteht und z∈M ist.
Der Grad jeder aufeinanderfolgenden Körpererweiterung (Adjunktion einer Quadratwurzel) ist zwei. Der Grad von L über ℚ(i) ist also eine Zweierpotenz.

Algebraische Elemente

Quelle

Definition: Ein Eelment a∈ℝ heißt algebraische über ℚ, wenn es ein Polynom f mit Koeffizienten in ℚ gibt mit f(a)=0. Anderfalls heit a transzendent.
Bemerkung: Die Mächtigkeit der algebraischen Zahlen ist abzählbar, die der transzendenten überabzählbar.
Satz: Zu jeder algebraischen Zahl über ℚ gibt es ein eindeutig bestimmtes normiertes irreduzibles Minimalpolynom f mit f(a)=0.
Satz: Sei a algebraische vom Grade n über ℚ, so ist {1,a,a3,...,an-1} eine Basis des Vektorraumes ℚ(a) und jedes Element von ℚ(a) ist algebraische über ℚ.
(Der Grad eines algebraischen Elementes ist nach Definition der Grad seines Minimalpolynoms. Kunz S.25)