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Funktionentheorie

Quelle

1797 stellt Euler mit dem Symbol i die komplexen Zahlen als a+bi dar.
sytematische Beschäftigung mit komplexen Funktionn: Cauchy ab 1814, Riemann ab 1851.

Die bisherige Auffassung, Funktionen als Rechenausdrücke zu betrachten, wurde abgelöst durch Weierstrass, der forderte, nur analytische Funktionen zu betrachten, also Funktionen, die sich lokal in konvergente Potenzreihen entwickeln lassen (s.u. holomorphe Funktionen).
Satz: Hat das Polynom p reelle Koefizienten und ist p(x)=p(a+bi)=0,
dann ist auch p(x)=p(a-bi)=0 (x=a+bi für a,b∈ℝ).
Bew.:
          2                                                     —
Sei p(x)=x + px + q und p(a+bi)=0. Ist x=a+bi (a,b∈ℝ), dann sei x = a-bi.

       ———    —2  —        —   
⇒ 0 = p(x) = x +px + q = p(x).  Für höhere Potenzen genau gleich.

Folgerung: Jedes reelle Polynom besitzt eine - bis auf die Reihenfolge - eindeutige Darstellung als Produkt von Linearfaktoren und quadratischen Faktoren mit reellen Koeffizienetn (aber ohne reelle Nullstellen).

Definition: Die Funktion f ist in z0 differenzierbar, wenn gilt
                                   f(x)-f(z )
                                           0 
Es existier der Grenzwert f'(z ) = ——————————
                              0      z-z
                                        0
In diesem Fall ist auch der Realteil von f differenzierbar und der Imaginärteil.
Man sagt f ist holomorph auf dem Gebiet G⊆ℂ, wenn f in jedem Punkt z0 von G differenzierbar ist, wobei z0 in einer offenen Menge {z| |z-z0|<ε} liegt für eine ε›0, ε∈ℝ.
Eine holomprphe Funktion ist dann unendlich oft differenzierbar und als Reihe darstellbar.
Der Begriff offene Menge ist der Grundbegriff der Topologie.
Die Cauchysche Integralformel

        1    f(w)
f(z) = ————————dw
       2π    w-z

besagt, dass der Funktionswert auf einem Gebiet nur von den Funktionswerten auf dem Rand abhängt.