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Die Diskriminate

Die Diskriminante des Polynoms (Kunz S.124)

 n       n-1 
x + a   x   + ... + a = (x-x )(x-x )...(x-x ) ist definiert als
     n-1             0      1     2        n

                 2
 Δ(f)=Produkt (x - x ) . Also für n=3
        i≨j     i   j

              2      2         2
 Δ(f)=(x - x ) (x - x )(x - x )
        1   2    1   3   2   3
  
               2                  2
Für n=2 und p=x +px+q ist Δ(f) = p - 4q

Δ(f)›0 ⇒ zwei reelle Lösungen, Δ(f)‹0  zwei komplexe Lösungen
 
                3   2                  2 2    3   3               2
Für n=3 und p= x +px +qx+r ist Δ(f) = p q - 4q -4p r + 18qqr - 27r

            3                       2    3
Im Falle p=x + qx + r ist Δ(f) = -4q -27r


(FLA S.378) Δ(f)≠0 ⇒ p irreduzibel

       4    2                         4
Ist p=x + px + qx + r, so ist Δ(f)=16p r+ ... (siehe FLA S.336)