Joachim Mohr Mathematik Musik Delphi
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Eisensteinkriterium (1850)
Ein Polynom p ist
irreduzibel, wenn es keine nichttriviale Zerlegung p(x)=q(x)r(x) gibt.
BAE 66
siehe auch WP
Satz (hier an=1):
Sei P(x) = x
n+a
n-1x
n-1+...+a
1x+a
0 ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten. Wenn es eine Primzahl p gibt, für die folgende Aussagen gelten, dann ist P(x) über den rationalen Zahlen irreduzibel.
- a0, a1,..., an-1 sind durch p teilbar
- a0 ist nicht durch p2 teilbar
Satz: Sei P(x) = a
nx
n+a
n-1x
n-1+...+a
1x+a
0 ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten. Wenn es eine Primzahl p gibt, für die folgende Aussagen gelten, dann ist P(x) über den rationalen Zahlen irreduzibel.
- a0, a1,..., an-1 sind durch p teilbar
- a0 ist nicht durch p2 teilbar
- an ist nicht durch p teilbar
3 3—
Beispiel: x - 2 ist in ℚ irreduzibel. Es hat in ℝ die Wurzel w=√2.
2 2π
In ℂ hat es die drei Wurzeln w, ς·w und ς ·w mit ς=cis(120°)=exp(——).
3
2 2
Beispiel: x -4x+2 ist irreduzibel in ℚ. (p=2 teilt 4 und 2, aber p teilt nicht 2.)
—
Seine Wurzeln sind 2±√2.
n
Analog sind die Polynome x -4x+2 irreduziebel in ℚ (n=3,4,5,...). (Siehe hier...)
Mit Hilfe des Eisensteinkriteriums kann auch gezeigt werden, dass
5
x - 1 4 3 2
————— = x + x + x + x + 1 irreduzibel ist.
x-1
5 p
Statt x - 1 git dies auch für alle Polynome (x - 1):(x-1) (p Primzahl)
Beweis: Die Substitution x=y+1 ergibt
5
(y+1) -1 4 3 2 p p
———————— = y + 5y + 10y + 10y + 5 [allgemein ( ) ... ( )]
y p-1 1
Hier ist das Eisensteinktiterium für p=5 erfüllt.
Für eine Primzahl p ist X
n-p irreduzibel, als Minimalpolynom von
n— n—
a=√p, und damit |√p:ℚ|=n
Ein weiteres Kriterium: Lemma von Gauß
BAE 63
Satz: Lässt sich ein normiertes Polynom f(x) mit ganzzahligen Koeffizienten zerlegen in
f(x)=g(x)·h(x), Koeffizienten von g(x) und h(x) rational
dann sind g(x) und h(x) normierte Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten.
Beispiel: Existiert g(x) und h(x) so, dass p(x)=g(x)h(x) ist, für
5 4 2
p(x)=x -2x +2x + 11x + 4 ?
Ein Linearfaktor (x-a) kann ausgeschlossen werden da a=±1, ±2 und ±4 keine Nullstelle ist.
Mit quadratischen Faktor wird es komplizierter. Siehe BAE 64. "... bleiben noch 24 Kombinationen"
Folgerung Gradmann S.24): Ist x∈ℚ Nullstelle eines normierten Polynoms mit Koeffizienten in ℤ, so ist x∈ℤ.
Irreduzibilität modulo einer Primzahl p
Lemma (Gradmann S.24): Es sei f∈Z[t] ein normiertes Polynom.
Gibt es eine Primzahl p, so dass das Polynom f∈Z
p[t] irreduzibel in Z
p[t] ist, so ist bereits f
irreduzibel in Z[t] und damit auch in Q[t].