BAE 66
siehe auch WP
3 3— Beispiel: x - 2 ist in ℚ irreduzibel. Es hat in ℝ die Wurzel w=√2. 2 2π In ℂ hat es die drei Wurzeln w, ς·w und ς ·w mit ς=cis(120°)=exp(——). 3 2 2 Beispiel: x -4x+2 ist irreduzibel in ℚ. (p=2 teilt 4 und 2, aber p teilt nicht 2.) — Seine Wurzeln sind 2±√2. n Analog sind die Polynome x -4x+2 irreduziebel in ℚ (n=3,4,5,...). (Siehe hier...)
5 x - 1 4 3 2 ————— = x + x + x + x + 1 irreduzibel ist. x-1 5 p Statt x - 1 git dies auch für alle Polynome x - 1 (p Primzahl) Beweis: Die Substitution x=y+1 ergibt 5 (y+1) -1 4 3 2 p p ———————— = y + 5y + 10y + 10y + 5 [allgemein ( ) ... ( )] y p-1 1 Hier ist das Eisensteinktiterium für p=5 erfüllt.
BAE 63
Satz: Lässt sich ein normiertes Polynom f(x) mit ganzzahligen Koeffizienten zerlegen inf(x)=g(x)·h(x), Koeffizienten von g(x) und h(x) rational
dann sind g(x) und h(x) normierte Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten.5 4 2 p(x)=x -2x +2x + 11x + 4 ?Ein Linearfaktor (x-a) kann ausgeschlossen werden da a=±1, ±2 und ±4 keine Nullstelle ist.