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Eisensteinkriterium (1850)

Ein Polynom p ist irreduzibel, wenn es keine nichttriviale Zerlegung p(x)=q(x)r(x) gibt.

BAE 66
siehe auch WP


Satz (hier an=1): Sei P(x) = xn+an-1xn-1+...+a1x+a0 ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten. Wenn es eine Primzahl p gibt, für die folgende Aussagen gelten, dann ist P(x) über den rationalen Zahlen irreduzibel. Satz: Sei P(x) = anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0 ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten. Wenn es eine Primzahl p gibt, für die folgende Aussagen gelten, dann ist P(x) über den rationalen Zahlen irreduzibel. 
           3                                                    3—
Beispiel: x - 2 ist in ℚ irreduzibel. Es hat in ℝ die Wurzel w=√2.
 
                                         2                       2π
In ℂ hat es die drei Wurzeln w, ς·w und ς ·w mit ς=cis(120°)=exp(——). 
                                                                  3

           2                                                      2
Beispiel: x -4x+2 ist irreduzibel in ℚ. (p=2 teilt 4 und 2, aber p teilt nicht 2.)

                      —
Seine Wurzeln sind 2±√2.

                          n
Analog sind die Polynome x -4x+2 irreduziebel in ℚ (n=3,4,5,...). (Siehe hier...)
Mit Hilfe des Eisensteinkriteriums kann auch gezeigt werden, dass 
 5
x - 1    4   3   2
————— = x + x + x + x + 1 irreduzibel ist.
x-1

       5                                      p 
Statt x - 1 git dies auch für alle Polynome (x - 1):(x-1) (p Primzahl)


Beweis: Die Substitution x=y+1 ergibt

     5
(y+1) -1    4    3     2                       p        p
———————— = y + 5y + 10y + 10y + 5 [allgemein (   ) ... ( )]
   y                                          p-1       1


Hier ist das Eisensteinktiterium für p=5 erfüllt.
Für eine Primzahl p ist Xn-p irreduzibel, als Minimalpolynom von 

  n—             n—
a=√p, und damit |√p:ℚ|=n

Ein weiteres Kriterium: Lemma von Gauß

BAE 63

Satz: Lässt sich ein normiertes Polynom f(x) mit ganzzahligen Koeffizienten zerlegen in

f(x)=g(x)·h(x), Koeffizienten von g(x) und h(x) rational

dann sind g(x) und h(x) normierte Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten.
Beispiel: Existiert g(x) und h(x) so, dass p(x)=g(x)h(x) ist, für 
      5   4   2
p(x)=x -2x +2x + 11x + 4 ?
Ein Linearfaktor (x-a) kann ausgeschlossen werden da a=±1, ±2 und ±4 keine Nullstelle ist.
Mit quadratischen Faktor wird es komplizierter. Siehe BAE 64. "... bleiben noch 24 Kombinationen"
Folgerung Gradmann S.24): Ist x∈ℚ Nullstelle eines normierten Polynoms mit Koeffizienten in ℤ, so ist x∈ℤ.

Irreduzibilität modulo einer Primzahl p

Lemma (Gradmann S.24): Es sei f∈Z[t] ein normiertes Polynom.
Gibt es eine Primzahl p, so dass das Polynom f∈Zp[t] irreduzibel in Zp[t] ist, so ist bereits f irreduzibel in Z[t] und damit auch in Q[t].
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