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Emil Artin's Version

(BAE 183) Satz: Sei G eine Gruppe von Automorphismen des Körpers E. Dann ist die Menge der Fixpunkte K={x∈E|φ(x)=x für alle φ∈G} ein Körper.
Beweis: Sei a∈K und b∈K. Dann ist zu zeigen: a+b∈K und a·b∈K, d.h. Für alle φ∈G ist φ(a+b)=a+b und φ(a·b)=a·b.
Dies folgt aus der Homomorphieigenschaft: φ(a+b)=φ(a)+φ(b)=a+b und φ(a·b)=φ(a)·φ(b)=a·b.
Ähnlich beweist man die Existenz von -a∈K und a-1∈K qed
Satz: Körperhomomorphismen φ:E→K sind injektiv, d.h. aus φ(x)=φ(y) folgt x=y für x,y∈K.
Bew.: Wäre x≠y also x-y≠0, dann wäre
   1      φ(1)      1                           1
φ(———)= ————————— = —, ein Widerspruch, denn φ(———) wäre dann nicht definiert. qed
  x-y   φ(x)-φ(y)   0                          x-y

Lemma: Eine endliche Menge {φ,ψ,...,ω} von Körperhomomorphismen E→K sind linear unabhängig,
d.h. Aus xφ+yψ+...+zω=0 (x,y,..,z∈F) folgt x=y=...=z=0. (Bew.: Siehe BAE 185)
Satz: Sei G eine endliche Gruppe von Automprphismen des Körpers E und K der Fixpunktkörper von G. Dann ist der Grad der Körpererweiterung E/K gleich dem Umfang |G| der Gruppe.
Hauptsatz der Galoistheorie: Sei E ein Körper und G eine endliche Gruppe von Automorphismen von E mit dem Fixpunktkörper K. Dann besteht zwischen den Untergruppen U von G und den Zwischenkörpern L (K⊆L⊆E) folgende Beziehungen:
1. Die Fixpunktkörper der Untergruppen U von G entsprechen bijektiv die Zwischenkörper.
2. Der Grad der Körererweiterung ist gleich der Anzahl |U| der Elemente von U.
3. Eine Untergruppe U ist genau dann Normalteiler von G, wenn sich der Körper K als Fixpunktkörper einer Gruppe von Automorphismen des zugehörigen Zwischenkörpers ergibt.

Erweiterung durch Radikale

(Artin 72) Eine Erweiterung E über F durch Radikale ist folgendermaßen definiert: Es existieren Zwischenkörper, bei denen nur Elemente von Wurzeln der Polynome Xn-a adjungiert werden.