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Kunz S. 169
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x5-4x+2=0 ist nicht durch Radikale auflösbar

schaubild_x_hoch_5usw Hier wird gezeigt, dass diese Aussage mit Hilfe der Körper- und Gruppentheorie bewiesen wird.
Ein Polynom mit Koeefizienten in ℚ, dessen Lösungen durch Radikale dargestellt werden können, ist ein Polynom, dessen Zerfällungskörper über ℚ als Teilkörper von ℂ durch sukzessive Adjunktion von Wurzeln entsteht.
Die Galoisgruppe G(f) von f besteht aus allen Automorphismen im Zerfällungskörper, die Elemente von ℚ festlassen.
Jedem Automorphismus der Galoisgruppe kann eindeutig ein Element der Symmetriegruppe S5 zugeordnet werden, indem man das Bild der Nullstellen von f betrachtet.
Es genügt Polynome ohne doppelte Nullstellen zu betrachten, da doppelte Nullstellen auch Nullstellen von f' sind und diese mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus ermittelt werden können.
Das Polynom ist nach dem Eisensteinkriterium irreduzibel, da es eine Primzahl p gibt (hier p=2), das alle Koeffizienten an-1 ... a0 des Polynoms (hier 4 und 2) teilt, aber a0 (hier 2) teilt nicht p2 (hier 4).
Die Galoisgruppe G(f), als Untergruppe von S5 betrachtet, enthält nach dem Satz von Cauchy ein Element der Ordnung 5, also einen 5-er Zyklus.
Bei geeigneter Nummerierung der Nullstellen ist dieses Element σ=(1→2→3→4→5).
f(x)=x5-4x+2 mit f'(x)=5x4 -4 hat in M(0,95|-1,03) ein lokales Minimum und in H(-0,95|5,03) ein lokales Maximum, also genau 3 reelle Nullstellen.
In ℂ ist der Übergang τ:a+bi→a-bi ein ℚ-Automorphismus, welcher die reellen Nullstellen von f festläßt und die 2 komplexen Nullstellen vertauscht.
G(f) enthält also noch neben dem 5-er-Zyklus σ=(1→2→3→4→5) noch eine Transposition τ, zum Beispiel τ=(1→2). Somit ist G(f)=S5, also nicht auflösbar, also auch f nicht durch Radikale lösbar. (Siehe hier ("S5 wird von einem 5-er-Zyklus und einer Transpsition erzeugt").
Nach dieser Methode kann man folgenden Satz beweisen. FLA 359)
Satz: Ein über ℚ irreduzibles Polynom 5.-ten Grades mit genau drei reellen Nullstellen in seinem Zerfällungskörper ist nicht durch Radikale lösbar. Seine Galoisgruppe ist nämlich S5.