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Gleichungen 5. Grades

Für Gleichungen 5. Grades hat man lange nach einer Antwort gesucht.
Ist das vielleicht zu kompliziert? Sind wir zu dumm?
Paolo Rufini (Ansatz 1799), Nils-Henrik Abel (1824) fanden heraus:

Nicht jede Gleichung 5. Grades ist durch Wurzeln lösbar!

Vor allem gibt es keine Lösungsformel für die allgemeine Gleichung 5. Grades.

Eine systematische Untersuchung "Wie konstruiere ich die Lösungen?" ist heute die Galoistheorie, benannt nach Évariste Galois (1811-1832).
Die Lösungen haben Symmetrien. Dabei kann bei Gleichungen 5. Grades die Symmetriegruppe S5 oder deren Kommutatorgruppe A5 auftreten. Diese Gruppen sind nicht auflösbar und das verhindert die Existenz von Wurzelausdrücken.
Jeder Gleichung 5. Grades ist die so genannte Galois-Gruppe zugordnet, wobei es sich um ein endliches Objekt handelt. Diesem Objekt kann man dann ansehen, ob die ursprüngliche Gleichung auflösbar ist oder nicht.

Quelle

Beispiele

 5                    5
x - 5x + 12 = 0  und x - x + 1 =0
Für dieLösung lässt bei der ersten Gleichung bei geeigneter Nummerierung der Lösungen die folgende Identität finden:
x x + x x + x x + x x +x x 
 1 2   2 3   3 4   4 5  5 1

- x x - x x - x x - x x - x x = -10                             
   1 3   2 4   3 5   4 1   5 2
Für die zweite Gleichung existiert, egal wie man dei Lösungen auch numeriert, keine solche Identität.
Weiter: Durchbuchstabiertes Beispiel ...

Giovanni Francesco Malfatti (1731-1807)

1771 fand Gianfrancesco Malfatti als erster einen Lösungsweg, der allerdings nur im Fall der Auflösbarkeit durch Wurzelausdrücke funktioniert.
(BAE 91) Mittels eine Substitution nach Graf Ehrenfried Walter von Tschirnhaus (1683), die auf eine kubische Gleichung führt, kann jede Gleichung 5. Grades zurückgeführt werden auf:
 5
x + 5cx + d =0
Malfatti startete mit der ohne jede Einschränkung möglichen Annahme, dass die Lösungen in folgender Form darstellen kann:
         j     2j     3j     4j
x   = (-ε m + ε  p + ε  q + ε  n) (j=0,1,2,3,4)
 j+1
                         2π          2π            5
mit ε:=cis(360°/5) = cos(——) + i sin(——). Beachte ε = 1. 
                          5           5  
Koeffizientenvergleich liefert eine Gleichung 6. Grades, die "bikubische Resolvente". Die ist natürlich i.A. nicht lösbar, jedoch in Sonderfällen. (Und braucht nicht weiter verfolgt werden.)