Joachim Mohr Mathematik Musik Delphi
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Körperautomorphismen
Definition
(BAE 149) Sei K Körper. Ein bijektive Funktion f:K→K heißt Automorphismus des Körpers K,wenn für alle a,b∈K gilt:
- f(a+b)=f(a)+f(b)
- f(a·b)=f(a)·f(b)
Folgerung
Sei f Automorphismus von K, dann gilt: f(0)=0 und f(1)=1.Beweis: f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0). Minus f(0) auf beiden Seiten) ergibt f(0)=0.
f(1)≠0 wegen der Injektivität und f(0)=0. f(1)=f(1·1)=f(1)·f(1). Division mit f(1) auf beiden Seiten ergibt f(1)=1 ∎
Desweiteren gilt für alle a∈K: f(-a)=-f(a) und f(a-1)=f(a)-1 (a≠0)
Beweis: 0=f(a+(-a))=f(a)+f(-a) und 1=f(a·a-1)=f(a)·f(a-1).
In ℚ gibt es nur id als Automprphismus
Beweis: Sei f Automorphismus ⇒ f(n)=f(1+1...+1)=f(1)+f(1)+...f(1)=1+1+...+1=n und f(-n)=-n.
m f(m) m
⇒ f(—) = ——— = — für m,n∈ℕ n≠0. qed
n f(m) n
In ℚ(√2) gibt es 2 Automorphismen
Nämlich id und f(a+b√2) = a - b√2Beweis: Sei w=√2 und a,b,c,d∈ℚ. Dann folgt:
f((a+bw)+(c+dw))=a+c-(b+d)w = f(a+bw)+f(c+dw)
f((a+bw)·(c+dw))=f(ac+2bd+(ad+bc)w)=ac+2bd-(ad+bc)w
f(a+bw)·f(c+dw)=(a-bw)·(c-dw)=ac-2bd-(ad+bc)w qed
Die max 4 Automorphismen in K=ℚ(√2,√3)
Es gilt der Satz: (Kunz S.111): Ist der Grad von L über K gleich n, so gibt es höchstens n Automorphismen , die K festlassen. Hier ist der Gard von K über ℚ gleich 4.
— — — — — — — — —
Sei x=a+b√2+c√3+d√6 und x=p+q√2+r√3+s√6 und f(x)=a-b√2-c√3+d√6.
Wir zeigen, dass f Automorphismus ist:
— — — — — — — — — — — —
f(x+y)=f(a+b√2+c√3+d√6+p+q√2+r√3+s√6)=a-b√2-c√3+d√6+p-q√2-r√3+s√6)
=f(x)+f(y)
— — —
x·y=t+u√2+v√3+w√6 für
t=ap+2bq+3ce+6ds,
u=aq+br,
v=ar+bq,
w=as+dp+br+cq
— — —
⇒f(x·y)=t-u√2-v√3+w√6
— — — — — — — — —
f(x)·f(y)=(a-b√2-c√3+d√6)·(p-q√2-r√3+s√6)=t-u√2-v√3+w√6 qed
Ob es weitere ähnliche Automorphismen gibt, habe ich nicht geprüft.
Definition: normale Körpererweiterung
(Kunz 112) Eine Körpererweiterung L/K heißt normal, wenn sie algebraisch ist und für jedes irreduzibles Polynom gilt: Hat f einen Nullstelle in L, so sind alle weiteren Nullstellen von f in L.Gegenbeispiel
3— 3 3—
L=ℚ(√2) ist nicht normal, da X - 2 außer w =√2 = noch
1
zwei weiter komplexe Wurzeln besitzt, nämlich:
2π
w =w ·cis(120°)=w exp(——) und w = w ·cis(240°) siehe hier ...
2 1 1 3 3 1
Satz
Eine endliche Körpererweiterung L/K ist normal, wenn L der Zerfällungskörper eines Polynoms ist.Eine Körpererweiterung vom Grad 2 ist immer normal, da sie der Zerfällungskörper einer quadratischen Gleichung ist.
Beispiel (Kunz 115)
3
Der Zerfällungskörper des irreduzieblen Polynoms f=X - 2 über ℚ ist
3— 3— 3 3 2 3— 3—
N=ℚ(√2,√2·cis(120°)), da (x - 2) : (x-√2) = x - √2x + √4
3— 3—
Ferner ist |N:ℚ(√2|=2 und |ℚ(√2):ℚ|=3. Folglich |N:ℚ|=6.
Die Galoisgruppe G(f) als Untergruppe von S3 also G(f)=S3.