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Körperautomorphismen

Definition

(BAE 149) Sei K Körper. Ein bijektive Funktion f:K→K heißt Automorphismus des Körpers K, wenn für alle a,b∈K gilt:

Folgerung

Sei f Automorphismus von K, dann gilt: f(0)=0 und f(1)=1.
Beweis: f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0). Minus f(0) auf beiden Seiten) ergibt f(0)=0.
f(1)≠0 wegen der Injektivität und f(0)=0. f(1)=f(1·1)=f(1)·f(1). Division mit f(1) auf beiden Seiten ergibt f(1)=1 q.e.d.
Desweiteren gilt für alle a∈K: f(-a)=-f(a) und f(a-1)=f(a)-1 (a≠0)
Beweis: 0=f(a+(-a))=f(a)+f(-a) und 1=f(a·a-1)=f(a)·f(a-1).

In ℚ gibt es nur id als Automprphismus

Beweis: Sei f Automorphismus ⇒ f(n)=f(1+1...+1)=f(1)+f(1)+...f(1)=1+1+...+1=n und f(-n)=-n.
 
     m   f(m)   m 
⇒ f(—) = ——— = — für m,n∈ℕ n≠0. qed
     n   f(m)   n

In ℚ(√2) gibt es 2 Automorphismen

Nämlich id und f(a+b√2) = a - b√2
Beweis: Sei w=√2 und a,b,c,d∈ℚ. Dann folgt:
f((a+bw)+(c+dw))=a+c-(b+d)w = f(a+bw)+f(c+dw)
f((a+bw)·(c+dw))=f(ac+2bd+(ad+bc)w)=ac+2bd-(ad+bc)w
f(a+bw)·f(c+dw)=(a-bw)·(c-dw)=ac-2bd-(ad+bc)w qed

Die max 4 Automorphismen in K=ℚ(√2,√3)

Es gilt der Satz: (Kunz S.111): Ist der Grad von L über K gleich n, so gibt es höchstens n Automorphismen , die K festlassen. Hier ist der Gard von K über ℚ gleich 4.
 
          —   —   —           —   —   —              —   —   —
Sei x=a+b√2+c√3+d√6 und x=p+q√2+r√3+s√6 und f(x)=a-b√2-c√3+d√6.

Wir zeigen, dass f Automorphismus ist:
             —   —   —     —   —   —      —   —   —     —   —   —
f(x+y)=f(a+b√2+c√3+d√6+p+q√2+r√3+s√6)=a-b√2-c√3+d√6+p-q√2-r√3+s√6)

=f(x)+f(y)
        —   —   — 
x·y=t+u√2+v√3+w√6 für 

t=ap+2bq+3ce+6ds, 

u=aq+br, 

v=ar+bq, 

w=as+dp+br+cq

             —   —   —                    
⇒f(x·y)=t-u√2-v√3+w√6  

               —   —   —       —   —   —      —   —   —
f(x)·f(y)=(a-b√2-c√3+d√6)·(p-q√2-r√3+s√6)=t-u√2-v√3+w√6 qed

Ob es weitere ähnliche Automorphismen gibt, habe ich nicht geprüft.

Definition: normale Körpererweiterung

(Kunz 112) Eine Körpererweiterung L/K heißt normal, wenn sie algebraisch ist und für jedes irreduzibles Polynom gilt. Hat f einen Nullstelle in L, so sind alle weiteren Nullstellen von f in L.

Gegenbeispiel

 
     3—                        3              3—      
L=ℚ(√2) ist nicht normal, da X  - 2 außer w =√2 =  noch 
                                           1       
zwei weiter komplexe Wurzeln besitzt, nämlich:
                      2π                                  
w =w ·cis(120°)=w exp(——) und w = w ·cis(240°) siehe hier ... 
 2  1            1     3       3   1                              

Satz

Eine endliche Körpererweiterung L/K ist normal, wenn L der Zerfällungskörper eines Polynoms ist.

Beispiel (Kunz 115)

 
                                                    3
Der Zerfällungskörper des irreduzieblen Polynoms f=X - 2 über ℚ ist
     3—  —                 3          3      2  3—    3— 
N=ℚ(√2,√2·cis(120°)), da (x - 2) : (x-√2) = x - √2x + √4
                3—           3— 
Ferner ist |N:ℚ(√2|=2 und |ℚ(√2):ℚ|=3. Folglich |N:ℚ|=6.

Die Galoisgruppe G(f) als Untergruppe von S3 also G(f)=S3.

Der Hauptsatz der Galoistheorie

(Kunz 117 BAE 190) Satz von Artin: Der Hauptsatz gibt für Galoiserweiterungen L/ℚ eine Bijektion zwischen der Menge der Zwischenkörper von L/ℚ und der Menge der Untergruppen der Galoisgruppe G(L/K).

(BAE 193) Erweiterungskörper von ℚ sind stets separabel

Dies gilt für alle Körper der Charakteristik 0.
In einer separablen Erweiterung ist jeder Wert einfache Nullstelle eines irrewduziblen Polynoms.