Joachim Mohr Mathematik Musik Delphi

Zitat

Aus einer Diplomarbeit von Peter Birkner, Paderborn (2004).
"Abschließend noch ein paar Worte zum Leben von Évariste Galois (s (1811–1832): Er wurde lediglich 21 Jahre alt und starb an den Folgen eines Duells, dem er sich wahrscheinlich aus Liebe zu Stephanie-Felice du Mote stellte.
Das Bemerkenswerte an dieser Geschichte war jedoch, dass er die Nacht vor dem Duell damit verbrachte, sein gesamtes algebraisches Wissen aufzuschreiben.
Diese Manuskripte sind heute noch verfügbar, doch auf Grund seiner Handschrift nicht vollständig zu entziffern. Interessanterweise bekam sein Werk erst vierzig Jahre nach seinem Tod die verdiente Aufmerksamkeit, als der französische Mathematiker C. Jordan ein umfangreiches Lehrbuch veröffentlichte, welches die Auflösungstheorie algebraischer Gleichungen in geschlossener Form darstellte."

Aus der Einleitung:
Die Galoistheorie ist ein Teilgebiet der Körpertheorie und beschäftigt sich mit den Galoiserweiterungen eines Körpers K, sowie den zugehörigen Automorphismengruppen. Der Hauptsatz der Galoistheorie stellt einen Zusammenhang zwischen den Untergruppen der Galoisgruppe und den Zwischenkörpern der entsprechenden Galoiserweiterung her. Die Begründung dieser Theorie geht im Wesentlichen auf E. Galois zurück, der sich zu Beginn des 19. Jahrhunderts mit der Lösbarkeit von algebraischen Gleichungen beschäftigte. Dies entwickelte sich später zu einer der wichtigsten Anwendungen dieser Theorie. Eine moderne und heute gebräuchliche Version des Beweises stammt von E. Artin

Eine weitere wichtige Anwendung der Galoistheorie ist die geometrische Konstruktion mit Zirkel und Lineal, insbesondere die Konstruktion des regelmäßigen n-Ecks. Dieses ist genau dann mit Zirkel und Lineal konstruierbar, wenn n die Form

n = 2^k· p₁ · p₂ · . . . · p_r (k ≥ 0, r ≥ 0)

hat, wobei p₁, p₂, . . . , p_r paarweise verschiedene Fermat’sche Primzahlen sind. Die bisher bekannten Fermat’schen Primzahlen sind 3, 5, 17, 257, 65537. Der deutsche Mathematiker C. F. Gauß entdeckte am 29. März 1796 als Erster, dass das regelmäßige 17-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist. Später wurden z. B. das regelmäßige 257-Eck durch F. J. Richelot im Jahr 1832 und das regelmäßige 65537-Eck von 1879 bis 1889 durch J. Hermes mit Zirkel und Lineal konstruiert.

E. Galois beschäftigte sich mit der Frage, ob jede algebraische Gleichung durch Radikale lösbar ist. In moderne Sprache übersetzt, kann man sagen, er fand heraus, dass ein nicht konstantes Polynom f über einem Körper K der Charakteristik 0 durch Radikale lösbar ist, falls die Galoisgruppe von f über K auflösbar ist. N. H. Abel zeigte 1824, dass es für algebraische Gleichungen vom Grad 5 und höher keine allgemeinen Lösungsformeln gibt. E. Galois konnte wenige Jahre später konkrete irreduzible Polynome vom Grad 5 aus Q[X] angeben, die nicht durch Radikale lösbar sind.

Galois Genie

BAE 102 Die Galisgruppe ermöglicht für alle wesentlichen Eigenschaften eine Klassifikation der Gleichung ohne Rücksicht auf die Gleichung.

Irruduzibilität
Auflösbarkeit mit Radikalen
Im Falle der Auflösbarkeit die dazu notwendigen Wurzeloperationen

Adjunktion, Erweiterungskörper

BAE 105. Die schrittweise Erweiterung bekannter Größen.
Zunächst zum Beispiel K=ℚ(√2).
In Zwischenschritten werden zu K weitere Wurzeln adjungiert.

Polynomiale Beziehungen

So kann es sein, dass für das Polynom der Form

 5     4     3     2
x + a x + a x + a x + a x + a    (gilt auch für allgemeine n statt 5)
     4     3     2     1     0  

polynomiale Beziehungen wie zum Beispiel
  2                                            2   
x  = x +2  bestehen, also P(X ,X ,X ,X ,X ) = X - X - 2  = 0 wird.
 1    2                      1  2  3  4  5     1   2

Diese Beziehungsplynome sind viel zu umfangreich. Galois beschränte sich auf die Galois-Resolvente. Diese kann auch ohne explizite Angabe der Lösungen angegeben werden.

Galoisgruppe von f

BAE 108

          5   4    3   2
Sei f(x)=x +ax + bx +cx +dx+e ohne mehrfache Lösungen

(Die folgende Definition gilt auch für alle Grade)

Die Galoisgruppe von f sind alle Permutationen σ∈S , 
                                                  5
welche die Nullstellen x ,x ,x , x und x   so vertauschen,
                        1  2  3   4     5 

dass für jedes Polynom h mit h(x ,x, x , x , x ) = 0 folgt
                                1  2  3   4   5

                              h(x   , x    , x     , x    , x    )=0
                                σ(1)   σ(2)    σ(3)   σ(4)   σ(5)

                                          2
Beispiel: Bei der quadratische Gleichung x + px + q =0  gilt

                               1 2
x + x = -p und x ·x =q Für  σ=(   ) folgt 
 1   2          1  2           2 1  

x    + x     = x + x = -p und x    ·x     = x ·x = q  
 σ(1)   σ(2)    2   1          σ(1)  σ(2)    2  1

Also gehört σ zur Galoisgruppe und diese ist G={id,σ}=S 
                                                       2


           4   3   2
Beispiel: x -4x -4x + 8x - 2=0.

Die Lösungen sind näherungsweise: 

x =-1,673493689, x =0,3132105728, x =0,8450665644, x =4,515216552.
 1                2                3                4  

Für die Lösungen gilt x x + x x =0. Also Galoisgruppe:
                       1 3   2 4
                                 
G={id, (1→3), (2→4), (1→3)(2→4), (1→4)(2→3), (1→2)(3→4), (1→4→3→2), (1→2→3→4)} ⊂ S
                                                                                  4

Wird nun zum Körper ℚ die Zahl √2 adjungiert, so


fallen wegen der Gleichung x - x + x - x =4√2,
                            1   2   3   4

vier der acht Permutationen nach Erweiterung des Körpers ℚ zu ℚ(√2)  heraus.

Die Kunst ist, die Galoisgruppe ohne Kenntnis der Nullstellen, nur in Kenntnis der Koeffizienten zu bestimmen.
Bei einer Körpererweiterung durch Adjunktion vekleinert sich die Galoisgruppe.

Die Galoisgruppe eines Polynoms

Sei f ein Polynom ohne mehrfache Nullstellen und Gal(f)=Gal(L/ℚ) die Galoisgruppe (Automorphiegruppe) seines
Zerfällungskörper ℚ(x₁,x₂,...,x_n).
Da die ℚ-Isomorphismen σ eindeutig bestimmt sind durch die Werte von σ(x₁),σ(x₂),...σ(x_n) kann die Galoisgruppe G(f) betrachtet werden als eine Untergruppe von S_n: G(f)⊂S_n

Der Hauptsatz der Galoistheorie

BEA 115 Ein Adjunktion einer m-ten Wurzel bewirkt eine Reduktion der Galoisgruppe. Anererseits:
Zu jeder Zerlegung in m² Teilquadrate kann eine m-te Wurzel adjungiert werden, die die Gruppentafel vermindert.

Satz: Eine irreduzible Gleichung ist genau dann mit Radikalen auflösbar, wenn die Galoisgruppe auflösbar ist.

Beispiel x⁵-x-1=0

Die 120x120-Gruppentafel lässt nur einmal eine Reduktion zu eine 60x60-Tafel zu. Die Gleichung ist also nicht auflösbar. (BAE 116)

BAE 124 Hat die Galoisgruppe einer Gleichung 5. Grades nur 5, 10 oder 20 Elemente, so ist sie auflösbar. Sonst (bei 60 oder 120) Permutationen nicht.

x³+x²-2x-1=0

BEA 117. Die Galoisgruppe kann auch ohne Kenntnis der Lösungen aufgestellt werden. Das Prinzip soll jedoch an Hand der Lösungen erklärt werden.

Die Lösungen sind x₁=2cos(2π/7), x₂=2cos(4π/7) und x₃=2cos(6π/7).
Für diese gelte die Identitäte: x₂=x₁²-2, x₃=x₂²-2 und x₁=x₃²-2.
Die Polynomre X₂=X₁²-2, X₃=X₂²-2 und X₁=X₃²-2 gehören also zur Menge B_ℚ der zur Bestimmung der Galoisgruppe in Betracht zu ziehenden Pplynome. Damit gehören zur Galoisgruppe nur die Elemente von S₃, welche die Lösungen zyklisch vertauschen. Also id, (3 1 2)=(1→3→2), (2 3 1)=(1→2→3).

Satz von Galois (1828)

(BAE 126) Ein irreduziebles Polynom 5. Grades (allgemein: Primzahlgrad) ist genau dann mit Radikalen auflösbar, wenn sämtliche Lösungen polynomial durch beliebige zwei Lösungen dargestellt werden kann.
Bew.: Adjungiert man zwei Lösungen, so erhält man den Zerfällungskörper.


           5
Beispiel: x  - 17x - 17 = 0 hat nur drei reelle Nullstellen (und zwei nicht reelle).

Es ist irreduzibel (nach dem Eisensteinkriterium) und zwei reelle Lösungen können unmöglich die Gesamtheit der Lösungen polynomial mit rationalen Koeffizienten darstellen.

Allgemein gilt

(Kunz S. 123) Die Galoisgruppe G(f) eines allgemeinen Polynoms n-ten Grades ist zu S_n isomorph.
Da S₅ nicht auflösbar ist, ist auch das allgemeine Polynom 5 Grades nicht auflösbar.