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Galois Genie

AE 102 Die Galisgruppe ermöglicht für alle wesentlichen Eigenschaften eine Klassifikation der Gleichung ohne Rücksicht auf die Gleichung.

Adjunktion, Erweiterungskörper

BAE 105. Die schrittweise Erweiterung bekannter Größen.
Zunächst zum Beispiel K=ℚ(√2).
In Zwischenschritten werden zu K weitere Wurzeln adjungiert.

Polynomiale Beziehungen

So kann es sein, dass für das Polynom der Form
 5     4     3     2
x + a x + a x + a x + a x + a    (gilt auch für allgemeine n statt 5)
     4     3     2     1     0  

polynomiale Beziehungen wie zum Beispiel
  2                                            2   
x  = x +2  bestehen, also P(X ,X ,X ,X ,X ) = X - X - 2  = 0 wird.
 1    2                      1  2  3  4  5     1   2

Diese Beziehungsplynome sind viel zu umfangreich. Galois beschränte sich auf die Galois-Resolvente. Diese kann auch ohne explizite Angabe der Lösungen angegeben werden.

Galoisgruppe von f

BAE 108

          5   4    3   2
Sei f(x)=x +ax + bx +cx +dx+e ohne mehrfache Lösungen

(Die folgende Definition gilt auch für alle Grade)

Die Galoisgruppe von f sind alle Permutationen σ∈S , 
                                                  5
welche die Nullstellen x ,x ,x , x und x   so vertauschen,
                        1  2  3   4     5 

dass für jedes Polynom h mit h(x ,x, x , x , x ) = 0 folgt
                                1  2  3   4   5

                              h(x   , x    , x     , x    , x    )=0
                                σ(1)   σ(2)    σ(3)   σ(4)   σ(5)

                                          2
Beispiel: Bei der quadratische Gleichung x + px + q =0  gilt

                               1 2
x + x = -p und x ·x =q Für  σ=(   ) folgt 
 1   2          1  2           2 1  

x    + x     = x + x = -p und x    ·x     = x ·x = q  
 σ(1)   σ(2)    2   1          σ(1)  σ(2)    2  1

Also gehört σ zur Galoisgruppe und diese ist G={id,σ}=S 
                                                       2


           4   3   2
Beispiel: x -4x -4x + 8x - 2=0.

Die Lösungen sind näherungsweise: 

x =-1,673493689, x =0,3132105728, x =0,8450665644, x =4,515216552.
 1                2                3                4  

Für die Lösungen gilt x x + x x =0. Also Galoisgruppe:
                       1 3   2 4
                                 
G={id, (1→3), (2→4), (1→3)(2→4), (1→4)(2→3), (1→2)(3→4), (1→4→3→2), (1→2→3→4)} ⊂ S
                                                                                  4

Wird nun zum Körper ℚ die Zahl √2 adjungiert, so


fallen wegen der Gleichung x - x + x - x =4√2,
                            1   2   3   4

vier der acht Permutationen nach Erweiterung des Körpers ℚ zu ℚ(√2)  heraus.   

Die Kunst ist, die Galoisgruppe ohne Kenntnis der Nullstellen, nur in Kenntnis der Koeffizienten zu bestimmen.
Bei einer Körpererweiterung durch Adjunktion vekleinert sich die Galoisgruppe.

Die Galoisgruppe eines Polynoms

Sei f ein Polynom ohne mehrfache Nullstellen und Gal(f)=Gal(L/ℚ) die Galoisgruppe seines
Zerfällungskörper ℚ(a1,a2,...,an).
Da die ℚ-Isomorphismen σ eindeutig bestimmt sind durch die Werte von σ(a1),σa(2),...σ(an) kann die Galoisgruppe G(f) betrachtet werden als eine Untergruppe von Sn: G(f)⊂Sn

Der Hauptsatz der Galoistheorie

BEA 115 Ein Adjunktion einer m-ten Wurzel bewirkt eine Reduktion der Galoisgruppe. Anererseits:
Zu jeder Zerlegung in m2 Teilquadrate kann eine m-te Wurzel adjungiert werden, die die Gruppentafel vermindert.

Satz: Eine irreduzible Gleichung ist genau dann mit Radikalen auflösbar, wenn die Galoisgruppe auflösbar ist.

Beispiel x5-x-1=0

Die 120x120-Gruppentafel lässt nur einmal eine Reduktion zu eine 60x60-Tafel zu. Die Gleichung ist also nicht auflösbar. (BAE 116)
BAE 124 Hat die Galoisgruppe einer Gleichung 5. Grades nur 5, 10 oder 20 Elemente, so ist sie auflösbar. Sonst (bei 60 oder 120) Permutationen nicht.

x3+x22-x-1=0

BEA 117. Die Galoisgruppe kann auch ohne Kenntnis der Lösungen aufgestellt werden. Das Prinzip soll jedoch an Hand der Lösungen erklärt werden.

Die Lösungen sind x1=2cos(2π/7), x2=2cos(4π/7) und x3=2cos(6π/7).
Für diese gelte die Identitäte: x2=x12-2, x3=x22-2 und x1=x32-2.
Die Polynomre X2=X12-2, X3=X22-2 und X1=X32-2 gehören also zur Menge B der zur Bestimmung der Galosgruppe in Betracht zu ziehenden Pplynome. Damit gehören zur Galoisgruppe nur die Elemente von S3, welche die Lösungen zyklisch vertauschen. Also id, (3 1 2), (2 3 1).

Satz von Galois (1828)

(BAE 126) Ein irreduziebles Polynom 5. Grades (allgemein: Primzahlgrad) ist genau dann mit Radikalen auflösbar, wenn sämtliche Lösungen polynomial durch beliebige zwei Lösungen dargestellt werden kann.
Bew.: Adjungiert man zwei Lösungen, so erhält man den Zerfällungskörper.

           5
Beispiel: x  - 17x - 17 = 0 hat nur drei reelle Nullstellen (und zwei nicht reelle).
Es ist irreduzibel (nach dem Eisensteinkriterium) und zwei reelle Lösungen können unmöglich die Gesamtheit der Lösungen polynomial mit rationalen Koeffizienten darstellen.

Allgemein gilt

(Kunz S. 123) Die Galoisgruppe G(f) eines allgemeinen Polynoms n-ten Grades ist zu Sn isomorph.
Das S5 nicht auflösbar ist, ist auch das allgemeine Polynom 5 Grades nicht auflösbar.