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Konstruktion des reg. n-Ecks

... ist gleichwertig mit der Konstrucktion der n-ten Einheitswurzel
                                                  2πi
                                                  ——— 
       360°        360°        360°       2πi      n
 ζ=cis(————) = cos(———) + isin(———) = exp(———) = e  
        n           n           n          n 
Satz (Gauss): Das n-Eck ist genau dann mit Zirkel und Lineal konstruierbar, wenn die Eulersche Zahl φ(n) eine Potenz von 2 ist.
φ(n)=Anzahl der Zahlen k kleiner n mit ggT(k,n)=1. Zum Beispiel φ(6)=2 φ(13)=12.
φ(5)=4 ⇒ 5-Eck ist konstruierbar
φ(7)=6 ⇒ 7-Eck ist nicht konstruierbar
φ(17)=16 ⇒ 17-Eck ist konstruierbar
Satz: Ist p Primzahl (φ(p)=p-1) und p-1 eine Potenz von 2 so ist
     n
    2 
p==2  + 1 für ein n∈ℕ


Die ersten Fermatschen Primzahle sind


3 17 257 65567. Weitere sind nicht bekannt.

Gauss fand für das 17 Eck:
cos17eck

Das 17-Eck ist konstruierbar

Quelle
Siehe auch hier

Da 17-Eck ist genau dann konstruierbar, wenn

z=cis(360°/17)=sin(360°/17)+icos(360°/17)=exp(2πi/17)

in einer 2 Radikalerweiterung von ℚ liegt, wenn es also eine Kette von Unterkörpern von ℂ gibt, ℚ=K0≤K1≤K2≤...≤Km=L gibt so, dass z∈L und Ki/Ki-1 den Grad 2 hat.
[z:ℚ]=φ(17) (φ Eulersche Funktion) φ(17)=16=24.
Die Eulersche φ-Funktion ist definiert als φ(n)=Anzahl der zu n teilerfremden Zahlen kleiner gleich n. Beisiel: φ(6)=2 und φ(13)=12.
Die Zwischenkörper von ℚ und ℚ(z) entsprechen Untergruppen einer gewissen Gruppe G mit 16 Elementen. Man kann zeigen G=ℤ16. Diese ist leicht zu untersuchen.
16=E(1)≥E(2)≥E(4)≥E(8)≥E(0), wobbei E(x) die von x erzeugte Untergruppe ist. Also existier auch die oben erwähnte Kette von Zwischenkörpern von ℚ(z)/ℚ. Damit ist gezeigt: Das 17-Eck ist kontruierbar.

Die Eulersche Phi-Funktion

Definition: Für ∈ℕ ist φ(n)=Anzahl der m∈ℕ mit 0≤m kleiner n und m,n ist teilerfremd, d.h. ggT(m,n)=1

Beispiele: φ(6)=2, da Menge der zu 6 teilerfremden Zahlen {1,5}.
φ(13)=12, da 13 Primzahl
φ(60)=16

Konstruierbarkeit des n-Ecks

Satz: Das regelmäßige n-Eck ist genau dann mit Zirkel und Lineal konstruierbar, wenn n=2m*p1*p2*...*pr für Fermatsche Primzahlen pi.
Die bisher bekannten 5 Fermatschen Primzahlen 22n+1 sind für n=0,1,2,3,4:
3, 5, 17, 257, 65537.
Nebenbei bemerkt: Im mathematischen Göttinger Institut ist ein Koffer, das 1889 beendete "Diarium" von J. Hermes mit der Beschreibung der Konstruktion des 65537-Ecks, an dem er 10 Jahre gearbeitet hat. Keiner traut sich, den Inhalt zu studieren oder den Koffer zu "entsorgen".