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S5 ist nicht auflösbar

Quelle

Wir untersuchen die Kommutatorengruppen K(G)
K(S5)=A5 die alternierende Gruppe von S5. Sie hat 60 Elemente, halb so viel wie S5. (Quelle).
A5 ist die Menge der geraden Permutationen von S5, also alle Permutationen, die als Produkt einer geraden Anzahle von Translationen dargestellt werden kann.
Jede Gruppe, die von zwei Elemnten a und b mit a5=b2=(ab)3=e erzeugt wird, ist Isomorph zu A5.
A5 wird von den Zyklen a=(1→2→3→4→5→1)=(2 3 4 5 1) und
b=(1→2→1)(3→4→3)=(2 1 3 4 5)(1 2 4 3 5) erzeugt.

A5 ist nicht auflösbar

Man kann beweisen, dass K(A5)=A5 ist. Beweis in WP (siehe Quelle). Nicht kompliziert.
Direkter Beweis bei Artin S.46 Der Beweis fußt auf der Tatsache, dass für σ=(i→j→k) und τ=(→r→s) gilt
   -1 -1 
στσ  τ  )=(r→k→i)

S5 wird erzeugt von ...

... einem 5-er-Zyklus, z.B. a=(1→2→3→4→5) und b=(1→2). (das gilt auch für eine Primzahl p statt 5). (Quelle: Artin S.45 Wichtig für Galoisgruppen).
a2=(1→3→5→2→4) a3=(1→4→2→5→3) a4=(1→5→4→3→2) a5=id
ab=(1→3→4→5) a2b=(1→4→3→5→2) usw.