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S₅ ist nicht auflösbar

Quelle

Wir untersuchen die Kommutatorengruppen K(G)
K(S₅)=A₅ die alternierende Gruppe von S₅. Sie hat 60 Elemente, halb so viel wie S₅. (Quelle).
A₅ ist die Menge der geraden Permutationen von S₅, also alle Permutationen, die als Produkt einer geraden Anzahle von Translationen dargestellt werden kann.
Jede Gruppe, die von zwei Elemnten a und b mit a⁵=b²=(ab)³=e erzeugt wird, ist Isomorph zu A₅.
A₅ wird von den Zyklen a=(1→2→3→4→5→1)=(2 3 4 5 1) und
b=(1→2→1)(3→4→3)=(2 1 3 4 5)(1 2 4 3 5) erzeugt.

A₅ ist nicht auflösbar

Man kann beweisen, dass K(A₅)=A₅ ist. Beweis in WP (siehe Quelle). Nicht kompliziert.
Direkter Beweis bei Artin S.46 Der Beweis fußt auf der Tatsache, dass für σ=(i→j→k) und τ=(→r→s) gilt

   -1 -1 
στσ  τ  )=(r→k→i)

S₅ wird erzeugt von ...

... einem 5-er-Zyklus, z.B. a=(1→2→3→4→5) und b=(1→2). (das gilt auch für eine Primzahl p statt 5). (Quelle: Artin S.45 Wichtig für Galoisgruppen).
a²=(1→3→5→2→4) a³=(1→4→2→5→3) a⁴=(1→5→4→3→2) a⁵=id
ab=(1→3→4→5) a²b=(1→4→3→5→2) usw.