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weitere Gruppen

Beispiel: Eine Untergruppe von S4 aller Permutationen der Menge {1,2,3,4} .

                                           1 2 3 4   
Hier: abgekürzte Schreibweise (a b c d) = (       )
                                           a b c d   

Die Untergruppe werde erzeugt (2 3 4 1). Das neutrale Element ist (1 2 3 4). Für die Verknüpfung gilt "rechts vor links" (FLA 12). Beispiel: (4 1 2 3)o(3 4 1 2)(1→3→2 2→4→3 3→1→4 4→2→1)=(2 3 4 1).
⋅         | (1 2 3 4) (2 3 4 1) (3 4 1 2) (4 1 2 3)
———————————————————————————————————————————————————
(1 2 3 4) | (1 2 3 4) (2 3 4 1) (3 4 1 2) (4 1 2 3)
(2 3 4 1) | (2 3 4 1) (3 4 1 2) (4 1 2 3) (1 2 3 4)
(3 4 1 2) | (3 4 1 2) (4 1 2 3) (1 2 3 4) (2 3 4 1)
(4 1 2 3) | (4 1 2 3) (1 2 3 4) (2 3 4 1) (3 4 1 2)
Mit a=(2 3 4 1) ist a2=a2=(3 4 1 2), a3=a3=(4 1 2 3), e=a4=(1 2 3 4)
Die Gruppentafel ist dann übersichtlicher.
⋅  | e  a  a2 a3
————————————————
e  | e  a  a2 a3
a  | a  a2 a3 e
a2 | a2 a3 e  a
a3   a3 e  a  a2 
Diese Untergruppe ist kommutativ, denn a⋅a2=a2⋅a(=a3) und a⋅a3=a3⋅a(=e).
Also ist S4 auflösbar.

Die symmetrische Gruppe (Permutationgruppe) Sn hat n! Elemente (n∈ℕ).

Jede endliche Gruppe ist zu einer Untergruppe einer Permutationsgruppe isomorph.
Die Menge derjenigen Permutationen, die das Produkt aus einer geraden Anzahl von Transpositionen (Vertauschen von 2 Elementen) darstellt, ist eine Untergruppe von Sn. Sie wird alternierende Gruppe genannt und mit An bezeichnet. Siehe auch hier...

FLA 15

Das 5-Eck in der komplexen Zahelebene

Pentagramm
5_eck




       0·2π·i
z0=exp(——————)=1
        5 

       1·2π·i
z1=exp(——————)=cos(72°)+i·sin(72°)
        5

       2·2π·i
z2=exp(——————)=cos(144°)+i·sin(144°)
        5

       3·2π·i
z3=exp(——————)=cos(216°)+i·sin(216°)
         5

       4·2π·i
z4=exp(————)=cos(288°)+i·sin(288°)
        5


z ·z = z   z ·z = z   z ·z = z   z ·z = z
 1  1   2   1  2   3   1  3   4   1  4   0

z ·z = z   z ·z = 1   z ·z = z   
 2  2   4   2  3       2  4   1

z ·z = z   z ·z = z    
 3  3   1   3  4   2 

z ·z = z        
 1  4   3
Die Gruppe {z0, z1, z2, z3, z4,·} ist isomorph zu (ℤ5,4).