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Beispiele für Galoisgruppen

Sei L eine Körpererweiterung von K (kurz L/K). Zum Beispiel L=ℚ(√2) und K=ℚ.
Die Galoisgruppe Gal(L/K) besteht dann aus aus allen K-Isomorphismen, also allen
Isomorphismen σ:L→L mit σ(x)=x für alle x∈K.

Quelle

ℚ(√2)

Die ℚ(√2)-Homomorphismen müssen √2 auf eine Nullstelle von X²-2 schicken. Da gibt es genau zwei:

• id: a+b√2 → a+b√2
• σ : a+b√2 → a-b√2
  Es gilt σ((a+bi)+(c+di))=σ((a+bi)+σ(c+di)) und σ((a+bi)·(c+di))=σ((a+bi)·σ(c+di))

Gal(ℚ(√2)/ℚ)={id,σ}

Die Galoisgruppe eines Polynoms

Sei f ein Polynom ohne mehrfache Nullstellen und Gal(f)=Gal(L/ℚ) die Galoisgruppe seines
Zerfällungskörper ℚ(x₁,x₂,...,x_n).
Da die ℚ-Isomorphismen σ eindeutig bestimmt sind durch die Werte von σ(x₁),σ(x₂),...σ(x_n) kann die Galoisgruppe G(f) betrachtet werden als eine Untergruppe von S_n: G(f)⊂S_n

Die Galoisgruppe von f(x)=x⁵-4x+2

Artin 288

(Ausführlich hier...) Dieses Polynom hat genau 3 reelle Nullstellen, also zwei komplexe konjugierte Nullstellen.
f ist irreduzibel über ℚ nach dem Kriterium von Eisenstein. Also ist die Galoisgruppe S₅.

Bilder von Nullstellen

Quelle

Jedes Element σ der Galoisgruppe GAL(f)=Gal(L/K) bildet Nullstellen von f auf Nullstellen von f ab.
Beweis: Sei zum Beispiel f(x)=x⁵-3x³-2 und a eine Nullstelle: Dann folgt:
f(σ(a))=σ(a)⁵-3σ(a)³-2. Da σ|K=id, d.h. σ(x)=x für alle x∈K, folgt:
f(σ(a))=σ(a)⁵-σ(3)σ(a)³-σ(2)=σ(x⁵-3x³-2)=σ(f(a))=σ(0)=0.

Der Hauptsatz der Galoistheorie

BEA 115 Ein Adjunktion einer m-ten Wurzel bewirkt eine Reduktion der Galoisgruppe. Anererseits:
Zu jeder Zerlegung in m² Teilquadrate kann eine m-te Wurzel adjungiert werden, die die Gruppentafel vermindert.

Satz: Eine irreduzible Gleichung ist genau dann mit Radikalen auflösbar, wenn die Galoisgruppe auflösbar ist.

Beispiel x⁵-x-1=0

Die 120x120-Gruppentafel lässt nur einmal eine Reduktion zu eine 60x60-Tafel zu. Die Gleichung ist also nicht auflösbar.

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BAE 124 Hat die Galoisgruppe einer Gleichung 5. Grades nur 5, 10 oder 20 Elemente, so ist sie auflösbar. Sonst (bei 60 oder 120) Permutationen nicht.

x³+x²2-x-1=0

BEA 117. Die Galoisgruppe kann auch ohne Kenntnis der Lösungen aufgestellt werden. Das Prinzip soll jedoch an Hand der Lösungen erklärt werden.

Die Lösungen sind x₁=2cos(2π/7), x₂=2cos(4π/7) und x₃=2cos(6π/7).
Für diese gelte die Identitäte: x₂=x₁²-2, x₃=x₂²-2 und x₁=x₃²-2.
Die Polynomre X₂=X₁²-2, X₃=X₂²-2 und X₁=X₃²-2 gehören also zur Menge B_ℚ der zur Bestimmung der Galoisgruppe in Betracht zu ziehenden Pplynome. Damit gehören zur Galoisgruppe nur die Elemente von S₃, welche die Lösungen zyklisch vertauschen. Also id, (3 1 2), (2 3 1).