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Beispiele für Galoisgruppen

Sei L eine Körpererweiterung von K (kurz L/K). Zum Beispiel L=ℚ(√2) und K=ℚ.
Die Galoisgruppe Gal(L/K) besteht dann aus aus allen K-Isomorphismen, also allen
Isomorphismen σ:L→L mit σ(x)=x für alle x∈K.

Quelle

ℚ(√2)

Die ℚ(√2)-Homomorphismen müssen √2 auf eine Nulstelle von X2-1 schicken. Da gibt es genau zwei: Gal(ℚ(√2)/ℚ)={id,σ}

Die Galoisgruppe eines Polynoms

Sei f ein Polynom ohne mehrfache Nullstellen und Gal(f)=Gal(L/ℚ) die Galoisgruppe seines
Zerfällungskörper ℚ(a1,a2,...,an).
Da die ℚ-Isomorphismen σ eindeutig bestimmt sind durch die Werte von σ(a1),σa(2),...σ(an) kann die Galoisgruppe G(f) betrachtet werden als eine Untergruppe von Sn: G(f)⊂Sn

Die Galoisgruppe von f(x)=x5-4x+2

Artin 288

Dieses Polynom hat genau 3 reelle Nullstellen, also zwei komplexe konjugierte Nullstellen.
f ist irreduzibel über ℚ nach dem Kriterium von Eisenstein. Also ist die Galoisgruppe S5.

Bilder von Nullstellen

Quelle

Jedes Element σ der Galoisgruppe GAL(f)=Gal(L/K) bildet Nullstellen von f auf Nullstellen von f ab.
Beweis: Sei zum Beispiel f(x)=x5-3x3-2 und a eine Nullstelle: Dann folgt:
f(σ(a))=σ(a)5-3σ(a)3-2. Da σ|K=id, d.h. σ(x)=x für alle x∈K, folgt:
f(σ(a))=σ(a)5-σ(3)σ(a)3-σ(2)=σ(x5-3x3-2)=σ(f(a))=σ(0)=0.

Der Hauptsatz der Galoistheorie

BEA 115 Ein Adjunktion einer m-ten Wurzel bewirkt eine Reduktion der Galoisgruppe. Anererseits:
Zu jeder Zerlegung in m2 Teilquadrate kann eine m-te Wurzel adjungiert werden, die die Gruppentafel vermindert.

Satz: Eine irreduzible Gleichung ist genau dann mit Radikalen auflösbar, wenn die Galoisgruppe auflösbar ist.

Beispiel x5-x-1=0

Die 120x120-Gruppentafel lässt nur einmal eine Reduktion zu eine 60x60-Tafel zu. Die Gleichung ist also nicht auflösbar.
BAE 124 Hat die Galoisgruppe einer Gleichung 5. Grades nur 5, 10 oder 20 Elemente, so ist sie auflösbar. Sonst (bei 60 oder 120) Permutationen nicht.

x3+x22-x-1=0

BEA 117. Die Galoisgruppe kann auch ohne Kenntnis der Lösungen aufgestellt werden. Das Prinzip soll jedoch an Hand der Lösungen erklärt werden.

Die Lösungen sind x1=2cos(2π/7), x2=2cos(4π/7) und x3=2cos(6π/7).
Für diese gelte die Identitäte: x2=x12-2, x3=x22-2 und x1=x32-2.
Die Polynomre X2=X12-2, X3=X22-2 und X1=X32-2 gehören also zur Menge B der zur Bestimmung der Galosgruppe in Betracht zu ziehenden Pplynome. Damit gehören zur Galoisgruppe nur die Elemente von S3, welche die Lösungen zyklisch vertauschen. Also id, (3 1 2), (2 3 1).