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Lösung der kubischen Gleichung

Quelle Nr. 9

Gegeben ist die Gleichung x^3+a2x^2+a1x+a0=0
I) Berechne die Diskriminante D3 aus a0, a1 und a2.

D3=(x1-x2)^2(x2-x3)^2*(x1-x3)^2=a2^2a1^2+18a2a1a3-4a2^3a0-4a1^3-27a0^2

II) W=√D3 (Eine der zwei Wurzeln)
III) Berechne b1^3, b2^3 aus a0, a1, a2 und W nach:

b1^3=-a2^3+9/2a2a1-27/2a0-3/2i√·W, b2^3 dieselbe Formel nur für W die zweite Wurzel.

IV Ziehe die dritte Wurzel für b1 und b2, b0=-a2 und errechne mit w=(dritte Wurzel von 1) x1,x2,x3

x1=(1/3(b0+w^2b1+wb2)
x2=(1/3(b0+wb1+w^2b2)
x1=(1/3(b0+b1+b2)
Ein Problem dabei ist: Es gibt ja 3 dritte Wurzeln von b1^3 und b2^3. Man muss die richtige finden. Aber auch das ist lösbar.

Fertig!

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Maple:

restart: a:=-3; b:=-3; c:=-1; pol:=x^3+a*x^2+b*x+c;d3:=a^2*b^2+18*a*b*c-4*a^3*c-4*b^3-27*c^2; w:=sqrt(d3);
>  om:=-1/2+I*sqrt(3)/2; simplify(om^3); simplify(om^2+om+1);
> b0:=-a; z:=-a^3+9/2*a*b-27/2*c-3/2*I*sqrt(3)*w; b1:=z^(1/3);
> z:=-a^3+9/2*a*b-27/2*c-3/2*I*sqrt(3)*(-w); b2:=z^(1/3);
> x1:=1/3*(b0+om^2*b1+om*b2); x2:=1/3*(b0+om*b1+om^2*b2); x3:=1/3*(b0+b1+b2);
> x:=x2; evalf(x^3+a*x^2+b*x+c);
Ergebnis:

                                       2    (1/3)
  x1 := 1 + 1/3 (- 1/2 + 1/2 I sqrt(3))  108

                                         (1/3)
         + 1/3 (- 1/2 + 1/2 I sqrt(3)) 54


                                           (1/3)
  x2 := 1 + 1/3 (- 1/2 + 1/2 I sqrt(3)) 108

                                      2   (1/3)
         + 1/3 (- 1/2 + 1/2 I sqrt(3))  54


                                  (1/3)         (1/3)
                 x3 := 1 + 1/3 108      + 1/3 54