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Einheitswurzeln ς ς2 ς3 ... ςn
n=2
-1——————+———————1
√1={-1,1}, denn (-1)2=1 und (+1)2=1
n=3
∛1={1,ς,ς2} für
0
ς = cos(0°)+i*sin(0°)=exp(0) =1
2π
ς=cos(120°)+i*sin(120°)=exp(——i)
3
2 4π
ς =cos(240°)+i*sin(240°)=exp(——i)
3
3
ς =cos(360°)+i*sin(360°)=exp(2πi) = 1 +i*0 = 1
BAE 17 Moivreis'sche Formel
n
(cos(φ)+i*sin(φ)) = cos(nφ)+i*sin(nφ)
n
exp(iφ) = exp(inφ)
n=4
i
|
|
|
-1——————+———————1
|
|
|
-i
∜1={1, i, -1 , -i}
n=5
2 i ς=cis(72°)=cos(72°)+isin(72°)
ς | ς
| 2 3
| ς =cis(144°) ς =cis(216°)
——————+———————1
| 4 5
3 | 4 ς =cis(288°) ς =cis(360°)=1
ς | ς
-i
5—
√1 = {1,ς,ς2,ς3,ς4}
2π
für ς:=cos(72°)+isin(72°)=exp(—— i)
5
√5-1
Da cos(72°)= ————
4
ist das regelmäßige 5-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar.
Zyklische Gruppen
Eine Gruppe (G,*) heißt zyklisch, wenn es ein a∈G so gibt, dass jedes Element von G eine Potenz von a ist.
Beispiel: Die
n-ten Einheitswurzeln bilden eine zyklische Gruppe.
für n=5 ist ς=cis(72°)=cos(72°)+isin(72°)=exp(2πi/5) ein erzeugendes Element dieser Gruppe.
Diese Gruppe (G,*) ist
isomorph zu (H,+) für H={0,1,2,3,4} (mod 5)