Joachim Mohr   Mathematik Musik Delphi
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Einheitswurzeln ς ς2 ς3 ... ςn

Moivre'sche Formel: (cis(α))n=cis(n·α).
Die Einheiswurzeln sind Lösungen der Gleichung xn=1. 
                          n                   2π
Beachte: 1=cis(2π). Also x = cis(2π) ⇒ x=cis(———).
                                              n 
                            2π                                2   3
Bezeichnung: ζ oder ζ = cis(———). Mit ζ sind weitere Löungen ζ , ζ ,...
                     n       n
Die Einheitswurzeln bilden eine mutiplikative Gruppe, die isormorh zur additiven Gruppe ℤn ist.

n=2 Gesucht: Lösungen von x2=1


-1——————+———————1    

 √1={-1,1}, denn (-1)2=1 und (+1)2=1

n=3 Gesucht: Lösungen von x3=1

sqrt3 
∛1={1,ς,ς2} für 

 0                       
ς = cos(0°)+i*sin(0°)=exp(0) =1 
                        

                            2π
ς=cos(120°)+i*sin(120°)=exp(——i)  
                            3

 2                           4π
ς =cos(240°)+i*sin(240°)=exp(——i)  
                             3
 3                          
ς =cos(360°)+i*sin(360°)=exp(2πi) = 1 +i*0 = 1 


BAE 17 Moivreis'sche Formel

                 n
(cos(φ)+i*sin(φ))  = cos(nφ)+i*sin(nφ)

       n
exp(iφ) = exp(inφ)

n=4 Gesucht: Lösungen von x4=1

        i
        |
        | 
        |
-1——————+———————1    
        |
        | 
        |                     
       -i

∜1={1, i, -1 , -i}

n=5 Gesucht: Lösungen von x5=1

Die Komplexen 5-ten Einheitswurzeln

5_eck 
 5 
x =1 hat folgende Lösungen:

ς=cis(72°)

  =cos(72°)+isin(72°) = 0,3090+i·0,9511
      
 2             
ς =cis(144°) = -0,8090+i·0,5878

 3
ς =cis(216°) = 0,8090-i·0,5878

 4             
ς =cis(288°) = 0,3090-i·0,9510

 5
ς =cis(360°)=1
Die genauen Werte sind (siehe: Tabelle):
cos(72°)=-1/4+sqrt(5)/4=0,3090
sin(72°)= 1/4*sqrt(2)*sqrt(5+sqrt(5))=0,9511
cos(144°)=-cos(36°)=-1/4-1/4*sqrt(5))=-0,8090
sin(144°)=sin(36°)=1/4*sqrt(2)*sqrt(5-sqrt(5))=0,5878 







5—
√1 = {1,ς,ς2,ς3,ς4}

                              2π
für ς:=cos(72°)+isin(72°)=exp(—— i)
                               5


             √5-1
Da cos(72°)= ————
              4   

ist das regelmäßige 5-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar.

 

Nebenbei bemerkt: x5-1=0 hat die 5 Lösungen {1,ς,ς2,ς3,ς4}.

Dividiert man x5-1 durch x-1 erhält man x4+x3+x2+x+1.

x4+x3+x2+x+1=0 hat dann die 4 Lösungen: {ς,ς2,ς3,ς4}.

Die Einheitswurzeln bilden eine zyklische Gruppe

Eine Gruppe (G,*) heißt zyklisch, wenn es ein a∈G so gibt, dass jedes Element von G eine Potenz von a ist. Dann ist an=1 und G={1,a,a2,a3,...,an-1} für ein n∈ℕ. Beispiel: Die n-ten Einheitswurzeln bilden eine zyklische Gruppe.
für n=5 ist ς=cis(72°)=cos(72°)+isin(72°)=exp(2πi/5) ein erzeugendes Element dieser Gruppe.
Diese Gruppe (G,*) mit G={1, ς, ς2, ς3, ς4} ist isomorph zu (H,+) für H=ℤ5={0,1,2,3,4} (mod 5)
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