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Einheitswurzeln ς ς2 ς3 ... ςn

n=2


-1——————+———————1    

 √1={-1,1}, denn (-1)2=1 und (+1)2=1

n=3

sqrt3 
∛1={1,ς,ς2} für 

 0                       
ς = cos(0°)+i*sin(0°)=exp(0) =1 
                        

                            2π
ς=cos(120°)+i*sin(120°)=exp(——i)  
                            3

 2                           4π
ς =cos(240°)+i*sin(240°)=exp(——i)  
                             3
 3                          
ς =cos(360°)+i*sin(360°)=exp(2πi) = 1 +i*0 = 1 


BAE 17 Moivreis'sche Formel

                 n
(cos(φ)+i*sin(φ))  = cos(nφ)+i*sin(nφ)

       n
exp(iφ) = exp(inφ)

n=4

        i
        |
        | 
        |
-1——————+———————1    
        |
        | 
        |                     
       -i

∜1={1, i, -1 , -i}

n=5

     2  i           ς=cis(72°)=cos(72°)+isin(72°) 
    ς   |    ς        
        |            2            3 
        |           ς =cis(144°) ς =cis(216°)  
  ——————+———————1    
        |            4             5
     3  |     4     ς =cis(288°)  ς =cis(360°)=1 
    ς   |    ς                
       -i


5—
√1 = {1,ς,ς2,ς3,ς4}

                              2π
für ς:=cos(72°)+isin(72°)=exp(—— i)
                               5


             √5-1
Da cos(72°)= ————
              4   

ist das regelmäßige 5-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar.

Zyklische Gruppen

Eine Gruppe (G,*) heißt zyklisch, wenn es ein a∈G so gibt, dass jedes Element von G eine Potenz von a ist.
Beispiel: Die n-ten Einheitswurzeln bilden eine zyklische Gruppe.
für n=5 ist ς=cis(72°)=cos(72°)+isin(72°)=exp(2πi/5) ein erzeugendes Element dieser Gruppe.
Diese Gruppe (G,*) ist isomorph zu (H,+) für H={0,1,2,3,4} (mod 5)