n 2π Beachte: 1=cis(2π). Also x = cis(2π) ⇒ x=cis(———). n 2π 2 3 Bezeichnung: ζ oder ζ = cis(———). Mit ζ sind weitere Löungen ζ , ζ ,... n nDie Einheitswurzeln bilden eine mutiplikative Gruppe, die isormorh zur additiven Gruppe ℤn ist.
-1——————+———————1
√1={-1,1}, denn (-1)2=1 und (+1)2=1
∛1={1,ς,ς2} für
0
ς = cos(0°)+i*sin(0°)=exp(0) =1
2π
ς=cos(120°)+i*sin(120°)=exp(——i)
3
2 4π
ς =cos(240°)+i*sin(240°)=exp(——i)
3
3
ς =cos(360°)+i*sin(360°)=exp(2πi) = 1 +i*0 = 1
BAE 17 Moivreis'sche Formel
n
(cos(φ)+i*sin(φ)) = cos(nφ)+i*sin(nφ)
n
exp(iφ) = exp(inφ)
i
|
|
|
-1——————+———————1
|
|
|
-i
∜1={1, i, -1 , -i}
5 x =1 hat folgende Lösungen: ς=cis(72°) =cos(72°)+isin(72°) = 0,3090+i·0,9511 2 ς =cis(144°) = -0,8090+i·0,5878 3 ς =cis(216°) = 0,8090-i·0,5878 4 ς =cis(288°) = 0,3090-i·0,9510 5 ς =cis(360°)=1Die genauen Werte sind (siehe: Tabelle):
5— √1 = {1,ς,ς2,ς3,ς4} 2π für ς:=cos(72°)+isin(72°)=exp(—— i) 5
√5-1 Da cos(72°)= ———— 4 ist das regelmäßige 5-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar.
Nebenbei bemerkt: x5-1=0 hat die 5 Lösungen {1,ς,ς2,ς3,ς4}.
Dividiert man x5-1 durch x-1 erhält man x4+x3+x2+x+1.
x4+x3+x2+x+1=0 hat dann die 4 Lösungen: {ς,ς2,ς3,ς4}.