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Körpererweiterung

Ein Körper L heißt Körpererweiterung des Körpers K, wenn K⊂L ist.
L kann als Vektorraum über K betrachtet werden. Der Grad der Körpererweiterung von L über K ist seine Dimension als Vekttorraum. Man verwendet hierbei die Bezeichnung |L:K| für den Grad von L über K.
Häufig betrachtet man Körpererweiterungen, die durch Adjunktion von Wurzeln entstehen.
Beispiel K=ℚ(√2) (ℚ adjungiert Wurzel 2) hat den Grad 2, da jedes Element x∈ℚ(√2) als x=a+b·√2) mit a,b∈ℚ dargestellt werden kann.
Berechnung des Inversen:
                    —
  1       1     a-b√2       1         —      
————— = ————— · —————  = —————— · a-b√2 ∈K
    —       —       —     2   2
a+b√2   a+b√2   a-b√2    a + b
Eine Basis des Vektorraumes ℚ(√2) über ℚ ist also {1,√2}.
Werden weitere Quadratwurzeln adjungiert, erhöht sich der Grad um den Faktor 2.
   —  —       —   —   —           
ℚ(√2,√3)={a+b√2+c√3+d√6|a,b,c,d∈ℚ} hat den Grad 4 über ℚ.
                                                        n
Jede Körpererweiterung mit Quadratwurzeln hat den Grad 2  für n∈ℕ.
Satz: Sind k, L und K Körper mit k⊂L⊂K so gilt |K:k|=|K:L|·|L:k|. (FLA 243)
Ist nämlich x1, x2, ... ,xm Basis von L über k und y1, y2, ... ,yn Basis von K über L, so ist xi·yj (i=1..m, j=1..n) Basis von K über k.
                3—                                                1    1 — 
(FLA 252) Sei b=√2 = 1,44... und ς=cis(72°)=cos(72°)+isin(72°) = -— + i—√3. 
                                                                  2    2
        2
(ς und ς = cis(144°) sind die komplexen, nicht reellen 3. Einheitswurzeln. 
sqrt3
                  2  
und b, b·ς und b·ς  alle drei komplexen 3. Wurzeln von 2.


                                     2
Dann ist der Grad von ℚ(b)={x+y·b+z·b |x,y,z∈ℚ} über ℚ gleich 3


und der Grad von ℚ(b,b·ς)=ℚ(b,ς) über ℚ(b) gleich 2, also


der Grad von ℚ(b,ς) über ℚ gleich 6.
Satz: Ist a transzendent über ℚ, so ist Grad ℚ(a) über ℚ unendlich.

                                      2   3
Eine Basis von ℚ(a) über ℚ ist {1,a,a , a , ... }

Ferdinand von Lindemann bewies 1882, dass π transzendent ist.
Charles Hermite bewies 1873, dass e transzendent ist.