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BAE 14

Weiterführend von ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝ⊂ℂ

Komlexe Zahlen, streng definiert

Der zweidimensionale Vekrorraum ℝ2={(a,b)|a,b∈ℝ} (oder auch ℚ2) wird zu einem Körper durch die Definition einer Multiplikation, die wir vorausgreifend mit der Definition von i als √-1 definieren über:

(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+i·(ad+bc) (Nebenrechnung)

Definition der Multiplikation:(a,b)·(c,d)=(ac-bd,ad+bc), a,b,c,d∈ℝ

Diese Defition macht (ℝ2\0,·) zu einer Gruppe und (ℝ2,+,·) zu einem Körper mit der Eigenschaft:
(0,1)·(0,1)=(-1,0), d.h.i·i=-1
          a     -b                      -1    a-bi
(a,b)·(——————,——————)=(1,0), d.h. (a+bi)   = ——————
        2   2  2   2                          2   2
       a + b  a + b                          a + b
Mit der Definition 1=(1,0) und i=(0,1) kommen wir zur vereifachten Darstellung
(a,b)=a+bi für a,b∈ℝ mit i2=-1.

Komplexe Zahlen, wie üblich

= {a+bi|a,b∈ℝ} ist der Körper der komplexen Zahlen mit der Eigenschaft i2=-1.
ℂ ist ein Vektorraum der Dimension 2 über ℝ.
Jedes Polynom kann in ℂ zerlegt werden in Faktoren (x-xi), wobei xi∈ℂ.
f(x)=xn+an-1xn-1+an-2xn-2+...+a2x2+a1x+a0= (x+xn)(x+xn-1)(x+xn-2)...(x+x3)(x+x2)(x+x1).
In der Funktionentheorie betrachtet man holomorphe (im komplexen differenzierbare) Funktionen. Ein wichtiges Ergebnis ist die Cauchysche Integralformel.
Man nennt eine Zahl algebraisch, wenn sie Nullstelle eines Polynoms mit Koeffizienten aus C ist, andernfalls ist sie transzendent. Die algebraischen Zahlen sind abzählbar, alle komplexen Zahlen überabzählbar.
Transzendente Zahlen sind π (Lindemann 1882), e=exp(1) (Hermite 1873) 22 (Gelford 1934).

Polarkoordinaten


z=a+bi∈ℂ, a,b∈ℝ hat die Darstellung in Polarkoordinaten

z=r(cos(φ)+i·sin(φ))
                               —————
               iφ             /2   2              b
z=r·exp(iφ)=r·e  , wobei r)=\/a + b   und cos(φ)= —
                                                  a   
exp_i_phq

Multiplikation von komplexen Zahlen

Seien die komplexen Zahlen z und w in Polarkoordinaten gegeben.

Wir multiplizieren z und w, indem wir die Winkel addieren und die Längen multiplizieren:

 
                                    iα
w=a·cis(α) = a·cos(α)+i·sin(α) = a·e    mit a=|w|

                                    iβ
z=b·cis(β) = b·cos(β)+i·sin(β) = b·e    mit b=|z|

                                                i(α+β) 
w·z=a·b·cis(α+β)=a·b·cos(α+β)+i·sin(α+β) = a·b·e       mit a·b=|w·z|

Automorphismen von ℂ

Isomorphismen von sind