Joachim Mohr Mathematik Musik Delphi
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Crashkurs
Satz vom primitiven Element:
Ist L eine endliche Körpererweiterung von K (ℚ⊂K⊂L⊂ℂ) , so gibt es ein a∈L mit L=K(a).Definition (Normale Erweiterung)
Eine algebraische Körpererweiterung K⊂L heißt normal, wenn gilt:Ist F ∈ K[X] irreduzibel und besitzt F eine Nullstelle in L, so liegen alle (komplexen) Nullstellen von F in L.
Satz (normaler Zerfällungskörper):
Ist L der Zerfallungskörper eines Polynoms F∈K[X] über K, so ist die Erweiterung L/K normal. Umgekehrt entsteht jede endliche normale Erweiterung von K als Zerfallungskörper eines Polynoms aus K[X].Beispiele:
3—
Der Körper ℚ(√3) ist nicht normal über ℚ,
3
da er die komplexen Wurzeln von F(X)=X - 2 nicht enthält. Der Zerfällungskörper
3— 3— 2π 2π
ist nämlich ℚ(√3,cis(120°)) = ℚ(√3,sin ——) + isin(——). Dieser ist normal.
3 3
Satz vom Zerfällungskörper
Ist L der Zerfallungskörper eines Polynoms F ∈ K[X] über K, so ist die Erweiterung L/K normal. Umgekehrt entsteht jede endliche normale Erweiterung von K als Zerfallungskörper eines Polynoms aus K[X].Definition (Galoiserweiterung)
Eine endliche, normale Korpererweiterung heißt Galoiserweiterung (oder galoissch).Der Satz besagt also, daß Galoiserweiterungen genau die Zerfallungskörper von Polynomen sind.
Definition (K-Automorphismus)
Ein K-Automorphismus von L ist ein Automorphismus σ : L → L mit σ(x)=x für alle x∈K.Definition Galoisgruppe einer Erweiterung
Die Galoisgruppe der Erweiterung L/K ist die Menge Gal(L/K) aller K-Automorphismen von L.Lemma
Es sei K ⊂ L eine Galoiserweiterung, F ∈ K[X] irreduzibel und a ∈ L eine Nullstelle von F. Ist b eine weitere Nullstelle von F, so gibt es ein σ ∈ Gal(L/K) mit σ(a) = b.Satz über den Grad
Ist L/K eine Galoiserweiterung, dann ist |Gal(L/K)| = [L : K]. (Anzahl der Gruppenelemente = Grad = Dimension als Vektorraum).Hauptsatz der Galoistheorie
Es gibt eine bijektive Zuordnung der Untergruppen eine Galoisgruppe G(L/K) und den Zwischenkörpern.Definition Galoisgruppe eines Polynoms
Es sei f ∈ K[t] ein Polynom über einem Körper K mit f ≠ 0. Ist L der Zerfällungskörper von f (der ist galoissch über K), so definieren wir die Galoisgruppe von f als Gal(f) = Gal(L/K).Isomorphie von Gal(f) zu einer Untergruppe von Sn
Ist f irreduzibel, so ist |Gal(f)| ein Vielfaches von n. Ein Automorphismus von Gal(f) permutiert die Nullstellen von f.Galoisgruppe irreduzibler Polynome vom Grad 3
3 2
Sei p(x)=x + ax + bx + c. Und
2 2 3 2 2
Δ=a b - 4b - 4ca + 18abc - 27c die Diskriminante von f. Dann gilt für Δ≠0
ist Δ ein Quadrat, so ist Gal(f)=A3, sonst Gal(f)=S3.
Beweis eine überaus lange Rechnung mit
2 2 2
Δ=(x -x ) (x - x ) (x - x )
1 2 2 3 3 1
3 2
Beispiel 1: f(x)=x - a. Δ=-27a also G(f)=S3
3
Beispiel 2: f(x)=x -3x + 1 ist irreduzibel in ℚ. Δ=81. Also G(f)=A3.
Die Diskriminante eine Polynoms n.ten Grades
2
Δ= Π (x - x )
1≤i kleiner j≤n i j
Hat f keine mehrfachen Nulstellen dann ist Δ≠0.
Δ kann durch die Koeffizienten des Polynoms ausgedrückt werden.
Ist Δ ein Quadrat so ist Gal(f) eine Untergruppe von A .
n