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Quelle

Crashkurs

Satz vom primitiven Element:

Ist L eine endliche Körpererweiterung von K (ℚ⊂K⊂L⊂ℂ) , so gibt es ein a∈L mit L=K(a).

Definition (Normale Erweiterung)

Eine algebraische Korpererweiterung K⊂L heißt normal, wenn gilt:
Ist F ∈ K[X] irreduzibel und besitzt F eine Nullstelle in L, so liegen alle (komplexen) Nullstellen von F in L.

Satz (normaler Zerfällungskörper):

Ist L der Zerfallungskörper eines Polynoms F∈K[X] über K, so ist die Erweiterung L/K normal. Umgekehrt entsteht jede endliche normale Erweiterung von K als Zerfallungskörper eines Polynoms aus K[X].

Beispiele:

             3—         
Der Körper ℚ(√3) ist nicht normal, 
                                      3
da er die komplexen Wurzeln von F(X)=X - 2 nicht enthält. Der Zerfällungskörper 

                                 2π          2π 
ist nämlich ℚ(cis(120°)) = ℚ(sin ——) + isin(——). Dieser ist normal.
                                  3           3

Satz vom Zerfällungskörper

Ist L der Zerfallungskörper eines Polynoms F ∈ K[X] über K, so ist die Erweiterung L/K normal. Umgekehrt entsteht jede endliche normale Erweiterung von K als Zerfallungskörper eines Polynoms aus K[X].

Definition (Galoiserweiterung)

Eine endliche, normale Korpererweiterung heißt Galoiserweiterung (oder galoissch).
Der Satz besagt also, daß Galoiserweiterungen genau die Zerfallungskörper von Polynomen sind.

Definition (K-Automorphismus)

Ein K-Automorphismus von L ist ein Automorphismus σ : L → L mit σ(x)=x für alle x∈K.

Definition Galoisgruppe einer Erweiterung

Die Galoisgruppe der Erweiterung L/K ist die Menge Gal(L/K) aller K-Automorphismen von L.

Lemma

Es sei K ⊂ L eine Galoiserweiterung, F ∈ K[X] irreduzibel und a ∈ L eine Nullstelle von F. Ist b eine weitere Nullstelle von F, so gibt es ein σ ∈ Gal(L/K) mit σ(a) = b.

Satz über den Grad

Ist L/K eine Galoiserweiterung, dann ist |Gal(L/K)| = [L : K]. (Anzahl der Gruppenelemente = Grad = Dimension als Vektorraum).

Hauptsatz der Galoistheorie

Es gibt eine bijektive Zuordnung der Untergruppen eine Galosgruppe G(L/K) und den Zwischenkörpern.

Quelle

Definition Galoisgruppe eines Polynoms

Es sei f ∈ K[t] ein Polynom über einem Körper K mit f ≠ 0. Ist L der Zerfällungskörper von f (der ist galoissch über K), so definieren wir die Galoisgruppe von f als Gal(f) = Gal(L/K).

Isomorphie von Gal(f) zu einer Untergruppe von Sn

Ist f irreduzibel, so ist |Gal(f)| ein Vielfaches von n. Ein Automorphismus von Gal(f) permutiert die Nullstellen von f.

Galoisgruppe irreduzibler Polynome vom Grad 3

          3    2
Sei p(x)=x + ax + bx + c. Und

   2 2    3     2             2
Δ=a b - 4b - 4ca + 18abc - 27c  die Diskriminante von f. Dann gilt für Δ≠0

ist Δ ein Quadrat, so ist Gal(f)=A3, sonst Gal(f)=S3. 
Beweis eine überaus lange Rechnung mit
         2        2        2 
Δ=(x -x ) (x - x ) (x - x )
    1  2    2   3    3   1 
 
                  3           2
Beispiel 1: f(x)=x - a. Δ=-27a  also G(f)=S3

                  3  
Beispiel 2: f(x)=x -3x + 1 ist irreduzibel in ℚ. Δ=81. Also G(f)=A3.

Die Diskriminante eine Polynoms n.ten Grades

                           2 
Δ=      Π         (x  - x )
  1≤i kleiner j≤n   i    j

Hat f keine mehrfachen Nulstellen dann ist Δ≠0.

Δ kann durch die Koeffizienten des Polynoms ausgedrückt werden.

Ist Δ ein Quadrat so ist Gal(f) eine Untergruppe von A .
                                                      n

Bemerkung

Im Allgemeinen ist es nicht einfach, die Galoisgruppe eines gegebenen Polynoms zu berechnen — in der Tat wird man für die konkrete Berechnung von Galoisgruppen in der Regel Computeralgebrasysteme einsetzen.