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Jörg Bewersdorff kompakt

S.1 kubische Gleichungen
S. 18 Einheitswurzeln ς ς2 ς3 ... ςn
S.40 Die elementarsymmetrischen Polynome sind
x1+x2+...+x2
x1x2+x1x3+...x2x3+...+xn-1x2
...
x1x2x3...xn (siehe hier...)
Die Summanden sind nämlich gleich -an-1, + an-2, ...(-1)nan
Diskriminante einer Gleichung ist das Quadrat von (x1-x2)(x1-x3)...(x2-x3)... Bei doppelten Nullstellen ist die Diskriminante 0.
S. 43 Dei Lösung der Biquadratischen Gleichung (x4...=0) geht über die kubische Resolvente - eine Gleichung 3. Grades (z3...=0) -. Dabei gilt: z=1/2(x1x2+x3x4) mehr...
S. 43 Fazit: Bei quadratischen, kubischen und biquadratischen Gleichungen könne die Zwischenwerte durch elementarsymmetrische Polynome der Lösungen dargestellt werden, also ohne verschachtelte Wurzelausdrücke.
S.46 Die symmetrische Gruppe Sn Siehe hier . . .Untergruppen
S. 48 Ein symmetrische Polynom h(x1,x2,...,xn) ist aus elementarsymmetrischen Polynomen mittels Addition, Subtraktion und Multiplikation gebildetes Pylynom und somit aus den Koeffizienten der allgemeinen Gleichung darstellbar.
Nach WP ist ein Polnymom h symmetrisch, wenn für jede Permutation σ gilt:
h(xσ(1),xσ(2),...,xσ(n))=h(x1,x2,...,xn).
S. 61 Ein Polynom heißt normiert, wenn an=1 ist.
Hat für zwei normierte Polynome g(x) und h(x) mit rationalen Koeffizienten das Polynom P(x)=g(x)h(x) als Koeffizienten nur ganze Zahlen, so gilt dies auch für g(x) und h(x).
S.64 Kann ein Polynom mit rationalen Koeffizienten in ein Produkt von zwei Polynomen mit rationalen Koeffizienten zerlegt werden, heißt es reduzibel, im anderen Fall irreduzibel. Siehe auch S. 115
S. 70 Konstruktion von n-Ecken ς ς2 ς3 ... ςn
S.74 K. F. Gauß zeigte die Konstruktion des 17-Ecks durch die Herleitung der 17. Einjeitswurzel.
                               ————————
    2π      1    1   ——   1   /      ——
cos(——) = - —— + ——\/17 + ——\/34-2\/17
    17      16   16       16

                ———————————————————————————————————————
                               ———————       ————————— 
            1  /       ——     /     ——      /       ——  
          + —\/17 + 3\/17 - \/34-2\/17 - 2\/34 + 2\/17
            8  
Druckbar:
(-1+sqrt(17)+sqrt(34-2*sqrt(17))+2*sqrt(17+3*sqrt(17) -sqrt(34-2*sqrt(17))-2*sqrt(34+2*sqrt(17))))/16
S.89 bis S.100 Nur mit großer Mühen nachzuvollziehende Rechnungen! S. 103

Beispiele für Erweiterungskörper

ℚ(√3)={a+b√3|a,b∈ℚ} vom Grad 2.
                       ————————
    1   1   —    —   3/      — 
ℚ(- — + —i\/3, \/3 ,\/ 2 + \/3 ) enthält die Lösungen vom
    2   2
 3   
x - 3x - 4=0

Gleichungen 5. Grades

Siehe Gleichungen [Giovanni Francesco Malfatti (1731-1807)]
S. 105 Beim Euklidischen Algorithmus für Polynome bekommt man den größten gemeinsamen Teiler von P(x) und P'(x). Wird P(x) durch diesen Teiler dividiert, erhält man ein Polynom mit nur einfachen Nullstellen. Es genügt also nur Polynome mit einfachen Nullstellen zu betrachten. (Beispiel) Polynome, die in ihrem Zerfällungskörper nur einfache Nullstellen besitzen, nennt man separabel.

Im folgenden betrachten wir nur Polymome mit einfachen Nullstelle.

S.101 Erweiterungskörper
S.101 Die Galoisgruppe einer Gleichung

Hier sind Körper stets Teilmengen von ℂ. (ℂ ist der Körper der Komplexen Zahlen).

S. 102 Evariste Galois bestand zwei mal nicht die Aufnahmeprüfung zu École Polytechnique. Mehrere Monate im Gefängnis als Mitglied der republikanischen Garde. Er schrieb seine Theorie in der Nacht vor seinem tödlichen Duell.
S.106 Zwischen den Lösungen x1,x2,... bestehen polynomiale Beziehungen, deren Wert 0 ist.
Zum Beispiel entspricht der Beziehung x12=x2 + 2 dem Polynom (mit Großbuchstaben bezeichnet):
h(X1,X2)=X12-X2-2
Für ein Polynom sei im Folgenden K der Körper, der außer Elementen von ℚ auch die (möglicherweise komplexen) Koeffizienten von K enthält. K ist also ein Erweiterungskörper von ℚ.
BK (Im Normalfall B)sei die Gesamtheit der Polynome h(X1,...X2), die Koeffizienten in K enthalten und für die Argumente x1,...,xn den Wert 0 ergeben.

S. 108 Zu einer Polynomgleichung ohne mehrfache Lösungen ist die Galois-Gruppe definiert als die Menge aller σ∈Sn, dass für jedes Polynom h(X1,X2,...,Xn) mit h(x1,x2,...,xn)=0 folgt h(xσ(1),xσ(2),...,xσ(n))=0.

           4   3   2
Beispiel: x -4x -4x + 8x - 2=0.

Die Lösungen sind näherungsweise: 

x =-1,673493689, x =0,3132105728, x =0,8450665644, x =4,515216552.
 1                2                3                4  

Für die Lösungen gilt x x + x x =0. Also Galoisgruppe:
                       1 3   2 4
                                 
G={id, (1→3), (2→4), (1→3)(2→4), (1→4)(2→3), (1→2)(3→4), (1→4→3→2), (1→2→3→4)} ⊂ S
                                                                                  4

Wird nun zum Körper ℚ die Zahl √2 adjungiert, so


fallen wegen der Gleichung x - x + x - x =4√2,
                            1   2   3   4

vier der acht Permutationen nach Erweiterung des Körpers ℚ zu ℚ(√2)  heraus.   

Die Kunst ist, die Galoisgruppe ohne Kenntnis der Nullstellen, nur in Kenntnis der Koeffizienten zu bestimmen.
S.114 Am Beispiel wird erläutert, dass sich nach Adjunktion von Wurzelwerten die Galoisgruppe verkleinert.
S. 115 Definition: Ein Polynom f(x) ist irreduzibel, wenn aus f(x)=p(x)·q(x) folgt: p(x) oder q(x) ist eine Konstante.
Satz: Eine irreduzible Gleichung ist genau dann mit Radikalen auflösbar, wenn die Galoisgruppe auflösbar ist.
Beispiel: Bei der Gleichung x5-x-1=0 lässt sich die zugehörige Galoisgruppe S5 (mit 120 Elementen) nur einmal reduzieren in eine Untergruppe mit 60 Elementen und dann ist Schluss. Folgerung: die Gleichung läßt sich nicht mit Radikalen lösen.

Satz (Galois): Eine Gleichung 5 Grades ist genau dann mit Radikalen auflösbar, wenn alle Lösungen polynomial schon durch zwei Lösungen dargestellt werden können.

Beispiel: Das Polynom
 5 
x - 17x - 17 = 0 hat drei reelle und zwei komplexe Lösungen.
Nimmt man davon zwei reelle Lösungen, können die komplexen Lösungen nicht errechnet werden,
BAE 143 zyklische Gruppen G={id, σ, σ2, σ3, ... , σn}.
Satz: |G|=Primzahl ⇒ G ist zyklisch.
BAE 151 Beispiel einer Galoisgruppe: Die Gleichung x2-6x+1=0 hat die Lösungen:
       —           —
x = 2+√2 und x =2-√2 
 1            2
Die Lösungen erweitern ℚ zu ℚ(√2)={a+b√2|a,b∈ℚ} Die Galois-Gruppe hat zwei Elemente, nämlich id und σ=(1→2), die die beiden Lösungen vertauscht.