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FLA 354/5.10
Siehe auch hier...

Lösbarkeit von Polynomgleichungen
xn+an-1xn-1+an-2xn-2+...+a2x2+a1x+a0=0

Satz: Für einen Körper k mit char(k)=0 und ein Polynom f∈k[X] ist gleichwertig:

(i) f ist durch Radikale lösbar.
(ii) Die Galoisgruppe Gal(f;k) ist auflösbar.

Lösbarkeit der allgemeinen Gleichung

(11)Quelle

I Finde Permutationsgruppen G0,G1,...,Gk mit Sn=G0⊃G1⊃...⊃Gk={id}
II Für i:=1,..,k tue folgendes: (Statt 5 und 4 ist hier gemeint i und i-1):
Finde G5-symmetrische Ausdrücke W51, W52, ... und eine natürliche Zahl p5 so dass gilt:

a) Die p5-ten Potenzen dieser Ausdrücke sind sogar G4-symmetrisch.
b) Aus diesen Ausdrücken lassen sich mittels algebraischer Operationen G5-symmetrische Ausdrücke gewinnen.

Falls es geling, die Schritte I und II durchzuführen, erhalten wir Formeln für die Nullstellen x1,...xn, in der nur algebaische Operationen und die p1, 2, ... ,pk Wurzeln vorkommen.

Funktioniert diese Methode?

Schritt II ist genau dann durchführbar, wenn gilt:
G5 ist ein Normalteiler von G4, d.h. für alle π∈G5 (die kleinere Gruppe) und alle σ∈G4 ist

σ◦π◦σ-1∈G5

.
B) Die Quotientengruppe G4/G5 ist zyklisch.

Satz: Normalteilerketten Sn=G0⊃G1⊃...Gk={id}, für die A) und B) geltem, existieren genau dann, wenn n=1,2,3 oder 4 ist.

Man sagt: Die Gruppen S1,S2,S3 und S4 sind auflösbar.